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几类周期系统的周期解和持久性

张娜  
【摘要】:受自然的或者人为的因素影响,在许多领域中存在着大量复杂的周期模型,它们一般可用周期泛函微分方程、周期脉冲微分方程、周期差分方程等方程来描述。本文由六章组成,分别对在经济和生态学等领域中有广泛应用的几类周期系统进行研究,得到了这些系统周期解的存在性和持久性并推广和改进了已有结果。 在第一章中,我们简单地介绍了对泛函微分方程、脉冲微分方程、差分方程及一些生物模型的周期解的研究现状,并给出了本文所研究的几个问题产生的背景及我们所做的主要工作。 在第二章中,我们对一个带参数的n维泛函微分周期系统进行研究,利用全连续算子的固有值问题及α凹或者-α凸算子理论,证明了该系统周期正解的存在性,进一步地,我们获得了该系统特殊形式的周期正解的唯一性。作为应用,在本章的最后我们给出了几个生物种群模型周期正解存在的充分条件。我们的结论推广了已有的相关结果。 在第三章中,我们利用凸锥理论中的一个不动点定理,获得了一类高维的带脉冲项的周期泛函微分方程的周期正解存在性的判别准则,改进并推广了已有的相关结果。最后,将获得的主要结果应用到几个生物模型当中,由此得到了一些有应用价值的结论。 第四章考虑了一个依赖于两个参数的耦合时滞周期差分系统。利用凸锥理论中的Krasnoselskii不动点指数定理,我们讨论了该系统周期正解的不存在性与一个及多个周期正解的存在性,得到了满意的研究成果。 在第五章里,我们用Mawhin延拓定理对一个差分模型周期正解的存在性进行了研究。该模型是由一个带扩散项的具阶段结构连续型生物周期模型采用半离散化方法离散而得到的。文中建立了一个重要的引理,从而克服了在对解进行先验估计时遇到的困难,得到了该系统存在周期正解的可行性条件。 在第六章中,我们研究一个基于比率的具Michaelis-Menten型功能反应函数的含三个营养级的食物链离散模型,利用差分方程理论中的比较原理和纯分析的方法证明了该系统在适当的条件下是持久的。本章所得的主要结果也阐明了这样一个事实:只要该食物链中的捕食者及最高级捕食者的死亡率充分小,且被捕食者的内禀增长率及捕食者的最大增长率相对较大,那么,食物链中的三个种群就能够长期共存。


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