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几类特殊矩阵逆特征值问题和几类约束矩阵方程问题

彭娟  
【摘要】:矩阵逆特征值问题就是根据给定的谱数据构造矩阵,给定的谱数据可以是全部或部分关于特征值或特征向量的信息。矩阵逆特征值问题在控制设计,地球物理学,分子光谱学,粒子物理学,结构分析等领域都有广泛的应用。约束矩阵方程问题则是在满足一定约束条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题,它是近年来数值代数领域中研究和讨论的重要课题之一,在结构设计,系统识别,结构动力学,自动控制理论,振动理论等领域有着广泛的应用。本篇博士论文研究了Jacobi矩阵,对称箭形矩阵的逆特征值问题和几类约束矩阵方程问题,完成的主要工作和取得的研究成果如下: 1.提出了由混合型特征对(Jacobi矩阵主子阵的某几个特征对和矩阵本身的某几个特征对)构造Jacobi矩阵的问题。研究了给定混合型特征对,给定顺序主子阵和缺损特征对(Jacobi矩阵某几个特征值及其对应的特征向量的部分信息)的Jacobi矩阵秩一修正问题。通过对Jacobi矩阵的结构特性的分析,得到了上述问题有解的充分必要条件,给出了求解问题的数值算法和数值例子。 2.n阶对称箭形矩阵与n阶Jacobi矩阵一样只有2n-1个非零元素,类似Jacobi矩阵逆特征值问题的提法,本文提出并讨论了六类对称箭形矩阵逆特征值问题,研究了这类矩阵的结构性质,得到了问题有解的充分必要条件及求解的数值算法和数值算例。 3.对于三类特殊的对称、反对称矩阵,关于矩阵方程AX=B在这三类矩阵集合中的反问题已经有了很好的研究结果。本文进一步讨论了方程AX=B关于这三类矩阵集合中的Procrustes问题。在求解方法上是首先利用子空间理论和投影定理将这三类矩阵的Procrustes问题化为等式方程问题来讨论,再利用矩阵的奇异值分解,广义奇异值分解得到了问题的通解表达式。并且还讨论了相应的最佳逼近问题,给出了最佳逼近解的表达式及求解的数值算法和算例。 4.利用矩阵的奇异值分解、广义奇异值分解及广义逆,研究了产生于振动理论中的矩阵方程X~T AX=B的半正定中心对称解、半正定对称正交对称解和半正定自反解。讨论了这几类矩阵的结构性质,得到了问题解存在的条件及通解表达式。


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