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几类约束矩阵方程组问题

刘赛群  
【摘要】: 约束矩阵方程问题就是在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程解的问题。不同的约束条件,不同的矩阵方程类型就导致了不同的约束矩阵方程问题。约束矩阵方程问题在结构设计,结构动力学,系统识别,自动控制理论,振动理论等许多领域中有着广泛的应用。正是在这些领域中提出的许多不同类型的问题刺激了约束矩阵方程问题理论的快速发展,使之成为当今数值代数领域中研究的重要课题之一。 本论文主要研究如下两个问题:问题Ⅰ给定X_0∈C~(p×q),求X∈S使||X ([1:p,1:q])-X_0|| =min,其中S为给定的集合.问题Ⅱ给定X~*∈C~(p×q),求X∈S_E使其中S_E为问题Ⅰ的解集合。 本论文主要做了如下工作: 1.分别讨论了子矩阵约束下矩阵方程组( AX , XB) = (C ,D)的最小二乘解,自反解与反自反解。我们的主要方法是利用投影定理将矩阵方程最小二乘解的问题化为矩阵方程解的问题来进行讨论,避开了在研究过程中遇到的非奇异矩阵不满足Frobenius范数的保范性带来的困难,从而得到了问题Ⅰ的通解表达式,并分别求出了它们所对应问题Ⅱ的最佳逼近解。 2.提出并讨论了特殊矩阵方程组( AXA~T , BXB~T,AXB~T) = ( E,F,G)在子矩阵约束下的对称解、反对称解。我们的主要方法是利用方程组的特殊性,将子矩阵约束下矩阵方程组( AXA~T , BXB~T,AXB~T) = ( E,F,G)的问题I, II转化为子矩阵约束下方程问题I, II。


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