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几类约束矩阵方程(组)最小二乘解及最佳逼近的迭代解法

方玲  
【摘要】: 线性约束矩阵方程(组)的最小二乘解及其最佳逼近问题是数值代数的重要研究领域之一,在许多领域有其应用的背景.例如在电学、光子光谱学、振动理论、结构设计、固体力学、有限元、参数识别、自动控制理论、生物学、线性最优控制等领域都有重要的应用. 本篇硕士论文利用迭代方法系统地研究了如下几类线性约束矩阵方程(组)的最小二乘解及其最佳逼近:问题I.给定A∈R~(m×n),B∈R~(n×s)和D∈Rm×s,求X?∈T使得其中T = CSR~(n×n)或T = CASR~(n×n). 问题II.给定A∈R~(m×n),B∈R~(n×s),C∈R~(m×k),D∈R~(k×s)和E∈R~(m×s),求[ X|ˉ, Y|ˉ]∈T使得 其中T = SR~(n×n)×SR~(k×k)或T = ASR~(n×n)×ASR~(k×k).问题III.给定A∈R~(m×n),B∈R~(n×q),C∈R~(m×q),G∈R~(l×n),H∈R~(n×t)和D∈R~(l×t),求X|ˉ∈T使得 其中T = SR~(n×n)或T = ASR~(n×n). 问题IV.设S为问题I或问题III的解集合,给定X?∈R~(n×n),求X?∈S使得 问题V.设S为问题II的解集合,给定X?∈R~(n×n),Y ?∈Rk×k,求[ X?, Y? ]∈S使得 这里CSR~(n×n),CASR~(n×n),SR~(n×n),ASR~(n×n)分别表示n阶中心对称矩阵、n阶中心反对称矩阵、n阶对称矩阵和n阶反对称矩阵, SR~(n×n)×SRk×k,ASR~(n×n)×ASRk×k分别表示实数域上的线性子空间{[A,B]|A∈SR~(n×n),B∈SRk×k}和{[A,B]|A∈ASR~(n×n),B∈ASRk×k},·为Frobenius范数,·R为Rm×q×Rl×t空间上定义的新的范数. 本文主要工作以及研究结果如下: 1.对于问题I~III,本文构造了具有短递推格式的迭代方法,成功地解决了上述矩阵方程(组)的约束最小二乘解问题.在不考虑舍入误差的情况下,构造出来的迭代法对任意的初始矩阵都可以在有限步计算出在给定约束矩阵集合上的一个最小二乘解,若选取特殊的初始矩阵,则还可以得到相应的最小范数最小二乘解;2.对于问题IV~V,首先,我们将求解最佳逼近等价转化为求解一个新的矩阵方程(组)最小范数最小二乘解的问题,然后利用上述迭代法求出该方程的最小范数最小二乘解,进而得到问题IV~V的解. 3.对上述构造的迭代法,本文进行了理论分析.证明了在最小二乘解得到之前迭代不会停止,由该迭代方法计算出来的逼近解可使得上述矩阵方程(组)残差的Frobenius范数在一个仿射子空间上达到极小,而且得到的残差序列的Frobenius范数是单调递减的.类似经典的共轭梯度法和Krylov子空间方法,利用该迭代方法所具有的极小化性质,给出了一个粗略的误差估计.最后,通过数值例子验证了所得到的理论结果.


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