与剩余格相关的几类逻辑代数系统的研究

【摘要】： 自从布尔代数作为经典二值逻辑所对应的代数系统被提出以来,各种不同逻辑系统所相应的代数系统受到研究人员的广泛关注,并取得了大量的研究成果。例如,与Lukasiewicz连续值逻辑系统相匹配的MV-代数,由Hájek所提出的与基础逻辑(Basic Logic)系统相匹配的BL-代数,与直觉主义命题逻辑系统相匹配的Heyting代数以及与王国俊教授所提出的形式逻辑系统L~*相匹配的R_0代数,量子逻辑的代数模型正交代数、效应代数等等。这些与逻辑系统相匹配的代数系统统称为逻辑代数系统。不同的逻辑代数系统之间存在着千丝万缕的联系。如MV-代数,BL-代数,R_0代数等等都与一个共同的结构—剩余格结构有着紧密的联系,换言之,这些代数都是剩余格的子类。鉴于此,本文旨在对几类与剩余格相关的逻辑代数系统的结构、性质和关系等进行考察,以进一步深化和拓展逻辑代数系统的研究。 另一方面,自1994年效应代数作为一种新的量子逻辑结构被提出以来,其研究受到了众多研究者的关注。特别地,随着对效应代数研究的逐步深入,部分代数的研究重新激起了研究者的兴趣,大量与之相关的研究成果被获得。本文基于对部分代数结构和剩余格结构的兴趣和了解,结合已有的研究成果,提出了一种新的部分代数结构,称之为部分剩余结构,并初步研究了该结构的基本性质、结构及其与量子结构的关系。 本文内容共分为四个部分: 第一部分包含第一章,主要是综述近年来逻辑代数系统研究的主要方向以及研究进展,着重介绍本论文所涉及的几类逻辑代数。 第二部分包含第二章和第三章,主要研究部分剩余格的性质和结构。第二章通过定义部分伴随对,引入了部分剩余格的概念。研究了部分剩余格的基本性质。特别考察了部分剩余格与格效应代数的关系,指出格效应代数是一种特殊的部分剩余格并得到了部分剩余格成为格效应代数的一个充分必要条件。最后在非交换的情形下进行了类似的讨论。第三章研究了部分剩余格的基本结构。主要讨论了部分剩余格的子结构、乘积结构和商结构。给出了部分剩余格之间的同态映射、子部分剩余格、部分剩余格的直积和滤子积以及部分剩余格上的同余关系等定义。证明了全体部分剩余格构成一个强代数簇。 第三部分包含第四章,主要是针对R_0代数进行研究。首先通过研究R_0代数的布尔元,给出了R_0代数的一种直积分解,推广了原有的结论。接着引入了相对于交闭系统的分式R_0代数的概念,研究了R_0代数上的Gabriel滤子,证明该滤子可以确定R_0代数上的一种同余关系,为进一步研究R_0代数的局部化奠定了基础。通过总结R_0代数上滤子的基本性质,讨论了R_0代数的谱空间,得出R_0代数的谱空间是紧T_0空间,其极大谱空间是紧Hausdorff拓扑空间。最后综合上述讨论,给出了R_0代数的弱布尔积和布尔积的概念,并研究了R_0代数的布尔表示。 第四部分包含第五章,主要研究有界交换的Rl-幺半群的局部化。通过定义有界交换的Rl-幺半群上的与Gabriel滤子F相关的F-积化子,得到了有界交换的Rl-幺半群关于F的局部化的定义。最后给出了局部化的一些应用。