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半连续格理论的研究

伍秀华  
【摘要】: 本论文分为三个部分. 第一部分,包括第2章,第3章,第4章和第5章.我们知道,上个世纪70年代早期,在计算机科学中, Scott为解决函数式语言的语义学模型问题而发现了连续格. 70年代末期,在纯数学的研究中,几位在不同领域工作的数学家和计算机科学家如Lawson、Hoffman和Stralka等人在关于紧半格的结构理论的研究中,也发现了连续格和代数格的结构.他们从两种完全不同的背景出发,导致同一对象的发现,大大刺激了连续格理论的发展.连续格理论一经形成,人们很快发现它处于代数、逻辑、拓扑和理论计算机科学等学科的交汇处,是当前极为活跃的研究领域.正因为其多学科的特点,从80年代开始许多国内外的数学家和计算机科学家开始了这方面的探索,使得连续格与Domain理论的发展十分迅速,并取得了一系列深刻而影响深远的结果. 近二十多年来,连续格的推广引起了人们的广泛兴趣. Gierz和Lawson引入了广义连续格的概念和超连续格; Jung等将连续格推广到L-domain上.最一般的情况,就是连续的dcpo.作为连续的dcpo的深入研究, Bandelt和Erne引入了Z-连续偏序集. 1997年, Zhao为了得到完备格上素元与伪素元更好的结果,从而引入半连续格和强连续格. 在第2章,我们研究了半连续格的一些基本性质.同时我们将半连续格推广到了半代数格,拟半连续格和交半连续格,并且我们研究了他们的一些基本性质和它们之间的相互关系. 由于连续格上自然存在两种重要的内蕴拓扑: Scott拓扑与Lawson拓扑,且这两种拓扑具有许多很好的性质.因此在第3章,我们主要研究半连续格上的一些拓扑结构和这些拓扑的相关性质.并且我们利用这些拓扑得到了强连续格和半连续格的刻画定理.同时我们利用S-下极限收敛给出了强连续格的刻画. 在第4章我们将引入几种新的映射且讨论了这些映射的一些基本性质.我们还讨论了半连续映射,强连续映射, Scott连续映射和S-连续映射之间的关系.最后我们研究了半连续格之间的半连续自映射的不动点之集的性质.在计算机科学的应用中,对于Domain范畴,一个基本的要求是笛卡儿闭的. 因此我们在第5章证明了强连续格范畴是笛卡儿闭的.同时我们指出分配连续格范畴也是笛卡儿闭的.最后我们讨论出了半连续格函数空间封闭的条件. 本文的第二部分是关于交连续偏序集的研究.在第6章,我们将交连续的定向完备偏序集推广到交连续偏序集上,并且讨论了它的一些性质,同时研究了交连续偏序集和W?连续偏序集的关系.为了推广赵彬和赵东升在偏序集中定义的下极限收敛,我们将从不同的角度来定义偏序集上的*-下极限收敛.同时我们还讨论了*-下极限收敛可拓扑化的条件. 本文的第三部分,即第7章,我们主要讨论了连续格和Z-连续偏序集的刻画.首先我们在连续格中引入伪紧元的概念,它与并不可约元和交不可约元不同.同时我们在连续格中引入伪基的概念,由此推导出连续格的一个表示定理.最后,我们在Z-连续偏序集引入Z-嵌入基并给出了Z-连续偏序集的一个表示定理.且我们讨论出了抽象Z-基的Z-理想完备是Z-代数的条件.


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