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关于椭圆型方程(组)正解若干问题的研究

付玉霞  
【摘要】: 本学位论文主要研究二阶半线性椭圆方程及方程组的边值问题,运用blow-up技巧、变分理论、不动点定理、上下解、先验估计、渐近分析等相结合的方法得到了Dirichlet边值和Robin边值条件下半线性椭圆问题正解的存在性、非退化性、唯一性以及多重性等结果. 第一章中,简单介绍了所研究问题的背景及主要结果,并给出了基本术语和文中需多次用到的引理,以及全文的结构安排. 第二章中,首先研究了一般形式的二阶椭圆方程Dirichlet问题正解的存在性与唯一性.由于许多实际问题并不一定具有变分结构,常用于证明解的存在性的变分方法不一定适用.为了避开这点,文中采用对解做先验估计结合不动点理论的方法,得到了在Dirichlet边界条件下正解存在的充分必要条件.第二章中更主要的结果是关于解的唯一性的.对半线性椭圆问题而言,要证明解的唯一性存在相当大的困难,原因是解的个数不仅依赖于算子系数,而且也依赖于区域的几何特性.文中采用算子扰动与blow-up技巧相结合的方法,证明了如果某类半线性椭圆问题的解是唯一的和非退化的,则对问题中的微分算子做小扰动后其正解仍是唯一的和非退化的,作为推论,还证明了正解的唯一性在区域的小扰动下是不变的.对于Robin边值问题,很多学者都认为与Dirichlet边值问题差不多,研究方法也类似,但近期的研究文献表明,这两类边值问题的差别还是很大的.因此,越来越多的人开始关注Robin边值问题了.当然,解的存在性和先验估计对Robin边值问题而言是相对容易的,但有关Robin边值问题解的唯一性和对称性至今没有任何结果.第三、四、五章分别就不同模型的Robin边值问题正解的唯一性和多重性作了研究. 第三章中,研究了一维情形下带Robin边值条件的二阶半线性椭圆问题正解的唯一性.在Dirichlet边值问题解的唯一性研究中,经常用到的最为有力的工具是打靶方法,但是对于一般的Robin边值问题,由于解不一定具有对称性,打靶方法不再适用.文中先证明齐次Robin问题的解是非退化的,再由隐函数定理得到了正解的唯一性,随后再利用齐次问题解的唯一性和非退化性结合blow-up技巧,给出了带变号非齐次项的模型一和带凹凸非线性项的模型二存在一个或多个正解的充分必要条件. 第四章中,研究了高维一般区域上的半线性椭圆方程及方程组在Robin边值条件下正解的唯一性问题.由于边界的复杂性,常用于证明某种对称区域上的Dirichlet问题解的对称性和唯一性的移动平面法不再适用,文中利用先验估计结合解的渐近分析的方法,给出了带Robin边值条件的方程及方程组正解具有唯一性的充分条件,相比较于Dirichlet边值问题的相关结论,这一条件对区域的形状没有特殊要求. 最后,第五章中研究了高维环域上??u = f(u)的Robin边值问题.在一定的假设条件下,通过先验估计结合变分方法中的Nehari技巧证明了:当边界条件中的参数β充分小时,Robin边值问题只有一个正解,又因为算子和区域是旋转不变的,此解一定是径向解,当β充分大时,Robin边值问题存在无穷多个非径向解.这一结论再次说明Robin边值问题和Dirichlet边值问题有着很大的不同.


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