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非线性演化方程精确解构造性理论与算法研究

杨先林  
【摘要】: 非线性动力学是非线性科学的一个重要分支,非线性动力学研究对象主要包括分叉、混沌、分形、孤立子等新的现象。非线性演化方程精确解的求解方法是孤立子理论的一个主要内容。随着计算机技术的发展,特别是计算机符号计算软件的出现,非线性演化方程精确解构造性理论及算法研究已成为非线性科学中的前沿研究课题和新的热点。虽然目前已经提出和发展了许多构造非线性演化方程精确解的理论和算法,但是由于构造非线性演化方程精确解没有也不可能有统一而普适的方法,因此继续寻找一些行之有效的求解方法依然是一项十分重要和极有价值的工作。本文在归纳和总结现有各种构造非线性演化方程精确解的主要方法的基础上,对非线性演化方程精确解的构造理论及算法进行了较为系统和深入的研究,提出和拓展了几种构造非线性演化方程精确解的新方法,并将这些方法应用到了许多力学和物理学中非常重要的非线性演化方程,结果不仅获得了这些方程已有的精确解,而且得到了许多新解。因此本文的工作丰富和发展了非线性演化方程精确解的构造理论及算法,具有较大的理论意义和应用价值。 全文共分七章。第一章为绪论,对非线性演化方程精确解的构造理论和算法进行综述,说明课题的来源,介绍本文的研究目的、主要内容和创新点。第二章用力学的方法简单地导出了几个重要的非线性演化方程,说明本文研究中所涉及到的非线性演化方程是有力学或物理学背景的。第三章利用多项式判别系统把范式代数方法扩展到其引入的常微分方程的未知函数的最高次幂大于4的情形,并用该方法构造了KdV方程和变形Boussinesq方程的一系列精确行波解,包括有理函数解,孤波解,三角函数周期解,Jacobi周期函数解和隐函数解。第四章引入了一个低阶辅助常微分方程,并获得该方程的一些新解,基于该辅助方程建立了一个辅助方程法的算法和直接求解的算法。利用辅助方程法构造了组合KdV-mKdV方程,(2+1)维Broer-Kaup-Kupershmidt方程,和两类变系数KdV方程的孤波解和三角函数解。使用直接解法构造了两个非线性演化方程:(1+1)维Klein-Gordon方程,(3+1)维Kadomtsev-Petviashvili方程,和两个非线性耦合演化方程组:(2+1)维耦合色散长波方程,耦合Klein-Gordon-Zakharov方程的孤波解和三角函数解。第五章获得了广义Lienard方程的一些新解,并利用它构造了一维广义Klein-Gordon方程,广义Ablowitz方程和广义Gerdjikov-Ivanov方程的精确解。然后引入一个带任意次幂非线性项的辅助常微分方程,利用任意次幂辅助方程法构造了广义Zakharov方程和广义Benjamin-Bona-Mahony方程的精确解。第六章通过一般化sinh-Gordon方程和构造所研究的方程新的试探解来扩展sinh-Gordon方程展开法。并用它构造了(2+1)维Konopelchenko–Dubrovsky方程,KdV-mKdV方程,双sine-Gordon方程和BBM方程的行波解,包括Jacobi椭圆函数双周期解,孤波解,三角函数解。第七章提出了利用耦合的Riccati方程组构造非线性微分-差分方程精确解的一种新的算法—离散耦合Riccati方程展开法,利用该算法获得了一般格子方程,Toda格子方程和(2+1)维Toda格子方程的扭结孤波解和复数解。最后对本文的工作进行了总结,并对今后的研究方向作了展望。


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