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几类非线性时滞系统的稳定性和分岔分析

胡海军  
【摘要】: 随着科学技术的发展,在工程、生态、经济、社会科学等领域中涌现出大量用时滞微分方程描述的非线性模型.本论文在现有模型的基础上提出了几类时滞非线性模型,包括三类不同耦合方式的环状神经网络模型和一类具阶段结构的捕食者-食饵模型.我们运用泛函微分方程稳定性理论、分岔理论、中心流形约化与正规形计算方法以及微分方程中的比较原理,对相关模型的平衡点的稳定性和Hopf分岔等动力学性质进行了研究.全文由以下六个部分组成. 第一章,首先对非线性科学和非线性时滞系统进行了概述,然后介绍了本文所研究的几类模型产生的实际背景以及我们的主要研究内容. 第二章,给出了本文将要用到的一些基本概念和重要引理. 第三章,对一类具有双向循环结构的四元神经网络模型进行了讨论.通过分析相应特征方程根的分布,研究了模型平衡点的线性稳定性,并证明了在一定条件下Hopf分岔的存在性.运用中心流形约化和正规形计算方法,我们还计算出一组决定分岔周期解性质的公式.所得结论是现有关于四元环状网络模型研究结果的推广或补充.另外,验证横截性条件成立的方法可应用于一般形式的具单指数项的超越方程. 第四章,考虑了两类环状神经网络模型的对称耦合.对于第一个模型,利用循环矩阵理论将特征方程进行因式分解,导出了关于平衡点渐近稳定性的充分条件.我们不仅讨论了分岔周期解的时空模式,还使用不同于第三章的正规形计算方法,获得了关于分岔方向和分岔周期解稳定性的判据.通过举例说明该模型的耦合方式可能导致更为复杂的动力学性态出现.对于第二个模型,着重分析了模块的耦合对系统动力学性质的影响.我们利用等变Hopf分岔理论证明了系统在一定条件下存在多个周期解.数值模拟验证了我们的理论分析结果. 第五章,提出了一类食饵具阶段结构的Lotka-Volterra型捕食者-食饵模型.我们借助特征根分析法、微分方程比较原理和迭代技巧讨论了模型的参数在不同取值范围内平衡点的全局渐近稳定性.另外,还分析了时滞对模型动力学性质的影响,给出了系统在正平衡点附近发生Hopf分岔的条件.数值模拟验证了所得结论的正确性.我们的研究结果揭示了两种群的长时间演化规律,并阐明了幼年期食饵到成年期食饵的转化率是两种群能否共存的一个关键参数. 论文最后,总结我们的研究工作并对今后的研究方向进行展望.


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