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拟正则映射与A调和方程很弱解的若干性质

史明宇  
【摘要】: 拟正则映射是复变函数(或称解析函数,又称正则函数)的拓广,其在数学、物理和工程技术中有着比解析函数更广泛的应用.这里的拟正则映射就是单(或双)特征矩阵的Beltrami方程组的广义解. 在本文第二章中从退化弱拟正则映射的定义出发,得到了其Caccioppoli型估计.由于Caccioppoli型不等式蕴含了弱逆Holder不等式,所以这个结果意味着自我提高的正则性结果.与传统方法不同的是,本文并没有应用Hodge分解等工具,而是利用Sobolev的逐点不等式以及Mcshane扩张定理等结果来进行推导,从而使得证明中的计算以及指数的估计等方面相对简化. 与拟正则映射理论密切相关的A-调和方程divA(x,▽u(x))=0其经典弱解的许多性质已经被得到.而经典弱解的一个很自然的推广就是很弱解.A-调和方程很弱解的性质,尤其是正则性和存在唯一性理论在近些年开始引起人们的关注并得到广泛的研究. 在本文第三章中,我们得到了A-调和方程很弱解的比较原理,即在一定条件下,A-调和方程很弱解函数u1,u2如果在其定义域Ω的边界上满足u1≥u2的话,则几乎处处在区域Ω上就有u1≥u2成立.而且当很弱解函数的可积性指数r与弱解可积指数p相同时,即很弱解成为经典弱解的时候,这个结果与经典弱解的比较原理是一致的.同时,这个结果的一个直接推论就是极值原理. 在本文第四章中,我们研究的是A-调和方程相关的单障碍问题的很弱解的性质.利用Sobolev逐点不等式构造出一个全局Lipschitz连续的函数,由它充当很弱解定义中的试验函数.从而利用经典的Mcshane扩张定理等结果,我们得到了单障碍问题很弱解的拟最小化性质,且这一结果与经典弱解的相关结果一致.进而我们还得到了很弱解的A-调和方程高阶可积性结果.在讨论齐次单障碍问题很弱解的同时,也给出了与非齐次A-调和方程divA(x,▽u(x))=divF(x)相关的单障碍问题很弱解的拟最小化性质及高阶可积性结果. 在本文第五章中,我们研究了双障碍问题的很弱解的性质.利用Sobolev逐点不等式以及经典的Mcshane扩张定理等结果,我们得到了双障碍问题很弱解的拟最小化性质,并进而得到了双障碍问题很弱解的正则性结果.同时,我们也讨论了非齐次双障碍问题的很弱解的相关性质,包括其拟最小化性质以及正则性结果.最后,我们讨论了单障碍问题和双障碍问题的关系,并得到了双障碍问题很弱解的一个收敛的性质.


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