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全局优化及其在金融中的应用

李英杰  
【摘要】: 本文研究全局优化及其在金融中的应用.并研究含有奇异解的凸函数极小化问题的数值算法。 首先研究求解无约束全局优化问题的算法.我们提出一种新的单纯型反射搜索机制用于全局优化的局部搜索阶段.这种单纯型反射的一个重要性质是当目标函数为二次凹函数时,可以保证沿着下降方向进行反射;若目标函数是一般的凹函数也能保证每次迭代总是由一个较“差”的点关于一个较“好”的点做反射.为使得算法不陷入局部极值,我们将单纯型反射机制与模拟退火算法进行杂交,并考虑将非单调的思想引入,提出一种新的单纯型模型退火算法.最后通过数值试验对算法的有效性进行了验证,数值试验结果表明这种单纯型机制在全局搜索中是合理有效的. Markowtiz于1952年提出的的投资组合理论是现代金融学的起点,其重要观点是用资产收益率的方差或标准差作为资产收益风险的度量.经过了50余年的发展,投资组合在理论和实践上取得了巨大的成就,而最优化理论也成为研究投资组合的一种重要工具.投资组合中有两类基本策略:积极策略和消极策略.消极的策略投资者认为市场是有效的,要长期胜出市场是很难的.近来消极的基金管理模式日益受到重视,据估计仅在美国就有价值1012美元的消极管理基金[1].指数跟踪是一类消极的基金管理方式,它的目标是构造一个投资组合使得该组合在某个指定的时间段的表现与被跟踪的指数的表现尽可能的相似.在实际中构造指数基金往往有一些约束条件,例如:不允许卖空,对资产头寸的限制,跟踪资产的数目的限制以及交易费用的限制等等.本文研究带实际约束的指数跟踪问题,考虑到跟踪模型目标函数的非凸性,我们导出模型的一种近似形式.它是一个混合整数(二次)规划问题.我们证明,在一定的条件下,在最优解附近,近似形式与原目标可充分接近.为了求解混合二次规划问题,我们提出一种简单的启发式算法.数值试验表明,我们的近似技术在实际操作中运行正常,提出的启发式算法简单高效. 投资组合中最重要的问题是如何有效地分散风险,用通俗的语言说就是“不要把鸡蛋放在同一个篮子里”.边际风险用于衡量单个资产对整体投资组合的风险贡献程度,可用做风险分散化程度的衡量指标.近来边际风险控制已得到越来越高的重视,然而带有边际风险控制的投资组合问题往往是棘手的非凸规划问题,大多数带边际风险约束的投资管理策略仍然停滞在事后分析阶段.由于非系统性风险能够通过充分的分散化而消除,我们关注于系统性边际风险的控制.为使提出的投资组合模型能够易于对系统性风险进行管理,我们将因子模型的思想引入边际风险的投资模型中.提出的边际风险控制模型是一个具有一些特殊的结构非凸优化问题.我们通过利用问题的特殊结构,提出一种分枝限界算法用于全局最优策略的求解.特别的,提出的分枝限界算法的分枝变量不依赖与总资产数目n,仅与因子的个数m及受边际风险限制的资产的个数C有关,特别适用于n远大于m+C的情况.我们通过实证分析对提出的模型与均值方差模型进行了比较,并通过数值算例证实本文分枝限界算法的有效性. 目前对投资组合风险的控制大多讨论的是对单个资产或者整体组合的风险的控制,事实上对投资组合的风险因子进行控制可以让投资者或基金经理对组合的风险结构有更加清楚的了解,根据自身对各类风险因素的承受能力更有效的进行投资管理.带有因子风险约束的投资模型很多时候是一个非凸规划问题,模型的求解难度很大;我们通过对风险因子的单位风险回报率进行控制,研究均值方差框架下带因子风险控制的投资模型.得到一个简单的二次规划投资模型,并通过实证分析对因子风险控制的投资策略与均值方差模型进行比较,结果表明对因子的单位风险回报率进行控制可以均匀投资组合中各风险因子的分布,并提高投资组合的市场表现. 全局优化问题研究的是存在多个局部极值点的优化问题,是一类非常难的优化问题,目前尚未存在非常有效的算法.事实上局部优化中的一些特殊问题也是非常棘手的,例如奇异解的极小化问题.传统的牛顿算法对无约束的凸极小化问题是非常有效的,其显著优点是算法的局部二次收敛性,但若极小化问题存在奇异解,牛顿算法的收敛性将降为线性.我们研究了带奇异解的凸函数极小化问题,提出一种截断正则化牛顿算法进行求解,并在一定的条件下证明了算法的全局收敛性和局部二次收敛性.数值结果表明截断正则化牛顿法对奇异解的凸极小化问题是非常有效的,且问题规模的增大时优势更明显.


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