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若干非线性矩阵方程的理论与算法

姚国柱  
【摘要】: 求解非线性矩阵方程是科学与工程计算中重要的问题之一.对非线性矩阵方程的研究已经成为数值代数的一个热点课题.本文在已有成果基础上,系统研究了如下五类具有代表性的非线性矩阵方程. 利用Kronecker积的性质以及Banach空间有界序列的收敛原理,我们研究了方程的正定解.其中A为mn×n阶复矩阵,Q为n阶正定矩阵,C为mn阶半正定矩阵,0|r|1或者r=-1.当r=-1时,该方程来源于一类插值理论问题.我们证明了在r=-1时方程正定解的存在唯一性.当0|r|1时,利用正规锥上单调算子的不动点理论,我们同样得到了方程正定解的存在唯一性.并且给出了该方程的扰动分析,得到了较为精确的扰动界.数值例子验证了所得结果. 当m=1,r=-1,C=0时,国内外学者对方程进行了详细的研究,得到了很多好的结果.其中Q,A,C,r的取值同上述方程.但是对于推广后的方程研究成果还很少.本文对该方程的推广形式进行研究.得到了方程存在正定解的一些充分条件和必要条件.同时也给出了方程存在唯一正定解的充分条件.此外,我们还对方程的正定解的范围进行了估计,并对方程进行了扰动分析,得到了方程的扰动界.数值实例验证了所得扰动界的精确性. 基于Thompson度量的良好性质,我们研究了非线性矩阵方程的正定解.其中A是n阶复矩阵,Q为n阶正定矩阵,q1.证明了该矩阵方程在F(X)为非扩张自伴算子的条件下正定解的存在唯一性.我们对该矩阵方程进行了扰动分析,得到了方程的扰动界.数值实例验证了所得结果的正确性. 关于非线性矩阵方程的研究文献不是很多.其中A是n阶复矩阵,Q为n阶正定矩阵,s,t为正整数.本文证明了方程正定解的存在性,给出了方程正定解的范围.我们得到了方程存在唯一正定解的充分条件以及给出了求解方程正定解的迭代方法.另外,也得到了方程的扰动分析和相应的扰动界,推广和改进了已有文献的结果.数值试验说明了所得结果的正确性和有效性. 最后,我们研究了非线性矩阵方程X+A*XrA=I的正定解.其中A是n阶复矩阵,r0.当0r1时,国内外已有学者进行研究.对于r1的情形,研究的文献较少.本文重点研究了该矩阵方程在r1时的情况.得到了方程存在正定解的充分条件和必要条件,并给出了方程存在唯一正定解的几个充分条件.此外,我们还对方程进行了扰动分析,给出了方程正定解的范围以及求解方程正定解的迭代方法.数值例子验证了所给迭代方法的可行性与有效性.


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