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分数布朗运动驱动的随机方程及其在期权定价中的应用

肖艳清  
【摘要】:与经典的布朗运动相比,分数布朗运动所具有的增量间相关的性质使得分数布朗运动能用来描述或者能更确切的描述一些经典的随机分析方法所不能描述的现象,因此,分数布朗运动在金融、气象、交通、水文、互联网、生态学等领域有着重要的应用。 本文主要研究由分数布朗运动驱动的随机方程及其在金融期权定价中的应用,在综述已有的相关研究成果的基础上,从倒向随机微分方程、随机Volterra方程、期权定价以及随机人口动力系统等四个方面进行了研究。 在绪论中,介绍了分数布朗运动的随机计算的研究历史与进展,特别是对由分数布朗运动驱动的随机方程(如随机微分方程、随机发展方程、倒向随机微分方程、随机Volterra方程等)以及分数Black-Scholes模型的研究历史及研究热点进行了较为详尽的综述。 在第二章中,我们介绍了本文研究所需要的分数布朗运动的定义、性质以及随机积分理论的主要成果。 在第三章中,我们研究了由分数布朗运动驱动的倒向随机微分方程的解的存在性与唯一性问题。首先,在假设生成元关于y满足Lipschitz连续但关于z仅满足一致连续条件下,利用拟条件期望的单调性质以及Tanaka公式得到了该类方程解的存在性与唯一性结果。其次,在假设生成元满足随机Lipschitz条件下,利用方程的解的不等式估计性质,构造压缩映射证明了这类方程解的存在性与唯一性。另外,我们还应用关于分数布朗运动的Girsanov定理,获得了两个倒向随机微分方程弱解存在性的等价结果。 在第四章中,我们研究了分数噪声驱动的随机Volterra方程的解的存在性与唯一性问题。首先,通过研究确定性线性Volterra方程预解算子的性质,得到关于分数布朗运动的随机卷积的正则性结果,应用关于耗散非线性确定性Volterra方程广义适度解的存在性与唯一性结果,获得了分数噪声驱动的耗散非线性随机Volterra方程广义适度解的存在性与唯一性。其次,我们引入了一个与分数布朗运动性质相似的增量间任意相关的不正则高斯过程,得到了不正则高斯噪声驱动的线性随机Volterra方程的弱解的存在性与唯一性,并将所得到的结果应用于对随机热方程弱解的存在性与唯一性研究。 在第五章中,我们研究了分数Black-Scholes模型下的金融期权定价问题,首先,在研究一般性分数Black-Scholes模型下的金融期权定价原理的基础上,通过研究基于不同的计价单位变换的测度变换结果,得到了一个新的研究期权定价模型的方法,在此方法上,我们研究了标准买权、交换期权、分数随机利率情形下的买权等常见期权的定价公式,我们采用的方法在计算中具有便利性优点。 在第六章中,我们研究了分数噪声驱动的年龄依赖型人口动力系统模型的解的存在性与唯一性问题。 最后,我们对本文的结果进行了总结,并提出了一些还需要进一步研究问题。


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