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随机微分方程数值算法研究

王小捷  
【摘要】:本文由两部分组成.第一部分研究随机常微分方程数值方法的强收敛性和稳定性.对刚性随机常微分方程和系数函数是非全局Lipschitz连续的随机常微分方程,本文提出了分别求解这两类方程的数值方法,研究了数值方法的收敛性和稳定性.第二部分研究随机偏微分方程数值方法的强收敛性.对于迹类乘性噪声驱动的半线性抛物型随机偏微分方程,本文构造了一个Runge-Kutta型方法,该方法比现有的Euler型方法和Milstein型方法拥有更高的计算效率. 全文由如下六章组成. 第一章简要介绍了随机常微分方程和随机偏微分方程数值方法的研究背景,简单回顾了随机微分方程数值解法的发展历史与现状.最后介绍了本文的主要研究内容和结构安排. 第二章简单介绍了Hilbert空间中随机分析的基础知识,特别介绍了本文需要用到的各种鞅不等式. 第三章研究求解刚性随机常微分方程的数值格式,构造了一类全隐Milstein方法.证明了该类方法应用到一类随机常微分方程时是1阶强收敛的,同时研究了该类方法的线性均方渐近稳定性和几乎必然渐近稳定性. 第四章对带跳随机常微分方程提出一类补偿随机θ方法,研究了数值方法的强收敛性和均方稳定性.证明了,对均方稳定的标量线性模型方程,当1/2≤θ≤1时,对任意步长h0,补偿随机θ方法是均方稳定的,这一性质在一定意义上可视为i方法A-稳定性结论的推广 第五章研究非全局Lipschitz连续条件下随机常微分方程的显式数值方法.由于显式Euler-Maruyama方法和显式Milstein方法在非全局Lipschitz条件下一般是既不强收敛也不弱收敛于方程的解析解,因此有学者提出驯服Euler方法.本章构造了比驯服Euler方法高阶的数值方法,即驯服Milstein方法,证明了驯服Milstein方法在一定的非全局Lipschitz条件下是1阶强收敛的. 第六章考虑随机偏微分方程的强逼近数值方法,构造了一个求解半线性抛物型随机偏微分方程的Runge-Kutta方法,分析了它的强收敛性.这个Runge-Kutta方法可以看做是有限维随机常微分方程Runge-Kutta方法的无穷维推广.此外,与现有两种数值方法的比较研究表明,新方法在计算效率上具有优越性.


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