格子Boltzmann方法在几类典型偏分方程及高速压制成形中的应用

【摘要】：偏微分方程在科学和工程技术中有着广泛的应用,许多实际问题的数学模型都可以用偏微分方程来描述,但很多偏微分方程无法求出解析解,只能用各种方法求出其数值解。格子Boltzmann方法是上世纪八十年代末提出的一种新兴的计算流体力学方法,近年来被许多学者用来求解各类偏微分方程。通过选择合适的格子速度模型和平衡态分布函数,格子Boltzmann模型可以恢复到相应的宏观方程。格子Boltzmann方法是把连续与离散相结合、借助微观模型来模拟宏观输运现象的跨尺度模拟方法,已在众多领域获得成功应用。 本文首先对格子Boltzmann方法的发展历程及其在偏微分方程数值解和粉体成形领域的应用进行综述；介绍了格子Boltzmann方法的基本原理和基本模型,并详细阐述了怎样从牛顿运动方程出发推导出格子Boltzmann方程。 其次,通过对添加项直接取二阶多尺度展开,避免了演化方程中添加项的一些复杂的偏导数项,将格子Boltzmann方法用于非线性热传导型方程和Klein-Gordon方程的求解；分别对Fisher方程、Newell-Whitehead方程、FitzHugh-Nagumo方程、二次和三次非线性的Klein-Gordon方程进行了数值求解；数值结果表明格子Bol-tzmnn方法能够有效求解上述方程且能够保证二阶精度,在求解三次非线性Klein-Gordon方程时,在大振幅周期边界下其计算结果比已有文献中的一些数值结果还更好。 再次,在周期边界条件下,针对一维Goldstein-Taylor模型的有限差分格子Bol-tzmann格式给出了其在L2范数意义下的稳定性证明；根据宏观量的定义,将一维Burgers方程的D1Q2速度模型的格子Boltzmann方法的演化方程改写成一个三层的差分格式,分析了相应格式的稳定性的条件；将该三层差分格式用于Burgers方程的数值求解,并与D1Q2,D1Q3模型及傅里叶级数解进行了比较；数值结果表明该差分格式的解与D1Q2,D1Q3模型的计算结果基本一致,其全局相对误差甚至还较小,当黏性系数很小时,傅里叶级数解由于激波的出现而无法收敛,而该三层差分格式还可以很好地求解。 最后,根据高速压制成形过程的工艺特点和相关文献结果,首次将多速度可压缩格子Boltzmann方法运用于高速压制成形过程的数值模拟；采用反弹与反射相结合的混合边界格式来模拟成形过程中的润滑与摩擦作用,并根据高速压制成形中粉末密度变化情况,将原来常数的松弛时间变成与粉末初始密度和压制最大理想密度的有关的松弛时间函数,建立了高速压制成形过程的格子Boltzmann模型；编程实现了高速压制过程的二维数值模拟,再现了成形过程中密度场的演化过程及应力波的传播过程。