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几类分数阶微分方程解的存在性、唯一性和可控性研究

王芳  
【摘要】:分数阶微分方程是众多工程和物理问题中的抽象形式,在分形和多孔介质的弥散、电解化学、半导体物理、凝聚态物理、粘弹性系统、生物数学及统计学等学科中有着重要的应用,从而使得分数阶微分方程的研究得以飞速发展,成为国际上的热点研究课题.近四十年来,众多学者对其有着极大的关注. 本篇博士学位论文主要研究了几类分数阶微分方程解的存在性、唯一性和可控性.全文由如下六个部分组成. 在本文的第一章,我们简要的介绍了分数阶微积分理论以及分数阶微分方程的研究背景、国内外研究现状、分数阶微分方程在不同领域的应用以及在此基础之上本文的主要研究内容. 其次,在第二章中我们主要证明了一类带有初值条件的非线性分数阶微分方程的解的存在性与唯一性,并研究了其解与初值条件、方程的阶数之间的依赖性.最后利用一个举例进一步阐述了本章中所得的结论. 在本文的第三章中,首先得到了常系数齐次线性微分方程组的唯一解,然后得到了当系数矩阵为对角矩阵时,常系数非齐次线性微分方程组的唯一解,再进一步证明了当系数矩阵为一般的矩阵时,这两类方程解的存在性与唯一性.最后我们举出两个例子进一步阐述所得的结论. 在本文的第四章中通过利用Schauder不动点定理和压缩映照原理,我们研究了非线性分数阶微分方程的反周期边值问题,并得到分数阶反周期边值问题解的存在性与唯一性结论.最后通过两个举例进一步阐述所得的结论. 在本文的第五章中主要讨论了带有Riemann-Liouville微分算子的分数阶发展方程.首先通过利用拉普拉斯变换给出此类分数阶发展方程的温和解定义.然后,利用经典的不动点定理进一步证明其温和解的存在性与唯一性.最后通过两个举例阐述了分数阶发展方程温和解的存在性与唯一性结论. 在本文的第六章中通过利用分数次幂算子和Sadovskii不动点定理,我们研究了抽象空间中分数阶中立型微分方程解的完全可控性,与已有的结论相比较,本章的结论只要求算子半群的等度连续性,而去掉了算子半群的紧性条件,弱化了其条件.最后利用一个举例说明了抽象空间中分数阶中立型微分方程解的完全可控性结论.


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