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基于ADI和IIM的界面问题算法研究

刘建康  
【摘要】:界面问题是自然界中一种常见的现象,对界面问题的数值方法研究在工业、生物、军事等方面有着重要的理论意义和实际应用价值,近些年一直受到学者们的广泛关注,也成为计算数学研究的前沿问题之一 首先,本文对界面问题数值方法的研究现状进行了综述.基于IIM方法,通过对传统的LOD差分格式在非正则点处的差分方程右端加上由跳跃条件确定的修正项,使得在非正则点处的局部截断误差为O(h),而正则点处的局部截断误差仍为O(h2),构造了二维和三维热传导界面问题的LOD-IIM差分格式,所得差分格式在时间和空间方向以无穷范数均二阶收敛,并用三个数值实验验证了格式的收敛阶和稳定性. 其次,利用IIM方法的思想,通过对高阶紧致ADI差分格式在非正则点处的差分方程右端加上由跳跃条件确定的修正项,使得在非正则点处的局部截断误差为O(h3),而正则点处的局部截断误差仍为O(h4),构造了二维热传导界面问题的高阶紧致ADI差分格式,所得的差分格式以无穷范数在时间和空间方向分别为二阶和四阶收敛且无条件稳定.基于固定界面的热传导问题的解关于时间的连续性,采用Richardson外推方法将时间方向的精度提高到四阶,从而得到二维热传导界面问题在时间和空间方向均四阶收敛的差分格式.基于所构造的差分格式,对两个分片光滑的数值算例进行求解,验证了格式的收敛阶和无条件稳定性. 然后,采用Adams-Bashforth方法处理非线性对流项,通过对传统的ADI差分格式在非正则点处的差分方程右端加上由跳跃条件确定的修正项,使得在非正则点的局部截断误差为O(h),而正则点处的局部截断误差仍为O(h2),构造了二维非线性对流扩散界面问题的ADI-IIM格式,所得格式在时间和空间方向以无穷范数均二阶收敛且无条件稳定.利用修正项关于时间的连续性,将当前时间层的修正项用前两个时间层上的修正项通过Adams-Bashforth方法逼近得到.对三个分片光滑的数值算例进行求解,验证了格式的收敛阶和稳定性以及通过Adams-Bashfoth方法逼近得到的修正项的可靠性. 最后,首次将Bernstein多项式用于椭圆界面问题数值方法的研究.在每个子区域上将方程的解表示为Bernstein多项式的线性组合,采用Galerkin方法或者配置方法计算Bernstein多项式的展开系数,得到一维椭圆界面问题和二维直线界面椭圆界面问题的高精度数值方法,数值实验表明该方法具有谱精度.对于二维曲线界面的椭圆界面问题,先通过一个非线性变换将其转化为直线界面问题并求解,再通过逆变换得到曲线界面问题的解.数值实验表明,该方法的逼近精度依赖于界面曲线的复杂程度.


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