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分数阶微分方程的谱方法和间断Galerkin方法研究

徐勤武  
【摘要】:摘要:分数阶微分方程以其带有全局性和记忆性特征而被应用于许多工程问题的数值模拟中,应用发展的需要使得分数阶微分方程的求解成为紧迫和重要的研究课题。多区域谱方法和间断Galerkin法由于仅在局部单元独立构造方程的逼近格式,不同的单元通过惩罚边界或者边界上的数值流函数来进行信息交换,在基函数的选取和网格的剖分方面具有很好的灵活性和较高的精度,已在传统微分方程的求解中发挥了重要的作用,本文将主要基于多区域谱方法和间断Galerkin法对分数阶微分方程的数值求解进行研究,以提出适应于任意网格剖分的高精度、高效率算法。主要研究成果如下: (1)用间断Galerkin法方程对空间进行离散、有限差分法对时间进行离散,构造了时间分数阶扩散方程的有限差分-间断Galerkin法,证明了空间半离散格式的L2稳定性和最优收敛性,用数值算例验证了理论结果。 (2)基于多区域谱方法的思想,为了达到较高的求解精度而同时尽量不增加计算量,提出了一种计算分数阶导数记忆项的混合方法,构造了求解时间分数阶微分方程的高阶多区域谱方法。根据分数阶导数的“短记忆原理”,将具有“无限步数”的多步法简化为具有固定步数的线性多步法,利用特征值分析法给出了方法的稳定性区域,通过数值算例分析了方法的收敛性。数值结果显示,这种方法具有N+1-α(N为基函数的最高次数)阶的精度,弥补了有限差分-间断Galerkin法时间离散精度不高的弱点。 (3)用多项式逼近方法构造了单区域内分数阶导数的逼近、用分片连续多项式逼近方法构造了分数阶导数在多区域内的逼近,利用正交多项式的性质给出逼近方法的误差分析,证明了当N-[α]为奇数时,所给方法具有N+1-[α]阶精度;当N-[α]为偶数时,所给方法具有N+1-α阶精度。通过添加罚函数项的方式为方程附加单元边界条件,分别构造了分数阶对流方程和扩散方程的罚函数谱方法,用矩阵特征值方法分析了所构造的罚函数谱方法的稳定性,并用数值算例验证了方法的收敛性。 (4)研究了带有分数阶Laplace算子的对流扩散方程的间断Galerkin方法。为了保证间断Galerkin法的相容性和高精度,将α(1α2)阶Laplace算子分解为两次一阶导数和2-α次分数阶积分的复合形式,通过辅助变量得到了低阶偏微分方程组,并对方程的扩散项采用交替方向数值流函数,对非线性项采用单调数值流函数,推导出了分数阶对流扩散方程的局部间断Galerkin法数值格式,证明了所给算法的L2稳定性;针对分数阶扩散方程,证明了所给算法具有最优收敛阶;对带非线性对流项的分数阶对流扩散方程证明了所给算法具有N+1/2阶精度。以分数阶扩散方程和分数阶Burgers方程为算例,验证了方法的稳定性和收敛阶。 (5)利用有限差分方法对时间域进行离散、配置方法对空间域进行离散,针对一类带广义分数阶导数的二维时间分数阶扩散方程构造了有限差分-配置法,并基于ADI给出了快速计算方法;证明了全离散格式对于初值和源项的无条件稳定性,通过数值算例验证了方法的稳定性、分析了方法的收敛性和精度。


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