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Dirichlet问题的概率数值方法

唐立  
【摘要】: 概率理论和分析数学之间的联系和影响是深刻的,其中扩散过程和二阶椭圆型偏微分方程之间的相互作用就是引人注目的例子之一。本学位论文,正是注意到了这些现象,提出了一种求解Dirichlet问题的新数值方法,克服了以往使用其它数值方法时常常遇到的困难和局限性,显示了分析数学中的问题借助概率理论来解决有着广阔的前景,在理论上和实际中都有着很好的意义。 绝大多数Dirichlet问题的解析解往往难以得到,随着计算机技术的发展,Dirichlet问题的数值解法越来越受到人们的重视,新的思想和方法不断涌现,其中有限元法已经发展成为目前求解Dirichlet问题的最主要的数值方法,但是有限元法解决该问题时,存在着一些弱点和局限。有限元法存在有“多维烦恼”,以它应用到三维问题为例,在单元形状、区域剖分和方程组的求解等方面都会出现很大的复杂性。特别地,三维问题最终产生的代数方程组未知数的个数与二维问题相比,将按几何级数急剧增加,即使计算机技术飞速发展,也难以满足它们的需求。其次,用有限元法求解工程和物理中集中载荷等问题时,显得工作量过大而且浪费。另外,有限元法不能解决Dirichlet外问题。为此,本文以概率理论及其与Dirichlet问题之间的联系为基础,提出了一种Dirichlet问题的数值方法,以解决上述存在的种种问题。 基本思路:先将Dirichlet问题的解用随机表达式表示;随后在定解区域边界上进行剖分,将问题离散化;接着利用布朗运动、漂移布朗运动等过程的强马尔可夫性以及它们的球面首中位置或首中时分布,对定 解区域构作一个辅助球,从而求得离散化了的问题的解。这样概率数值 方法就将定解区域上的问题转化成定解区域边界上的问题,从而三维问 题就转化成了二维问题,带来求解上的简便。又因为此种方法,是逐点 获得数值解的,因此,用于集中载荷等问题时不显工作量大和浪费。另 外,由于在无界区域上解的随机表达式也是成立的,因而可以用来解决 Dirichlet外问题。最后,这种概率数值方法的边界适应性也很强,可以 用于各种边界复杂的问题。 本论文由七章组成。 第一章综述了Dirichlet问题数值解的现状、与Dirichlet问题密切联 系的概率理论以及概率数值方法的实质和特点。第二章介绍了论文中涉 及到的概率理论的基术概念、性质和定理等。余下的内容分为两部分: 第一部分由第三、四、五、六章组成,是关于概率数值方法的研究和探 讨。第三章首先介绍概率数值方法总的思路,然后对平面有界区域上, 调和方程的第一边值问题提出了概率数值方法。数值算例表明,该方法 简便且高效。第四章将该方法推广到了高维情形以及Poisson问题和一般 问题,并再次以算例验证了该方法的有效性。第五章介绍与漂移布朗运 动相联系的Dirichlet问题的概率数值方法。第六章将该方法应用到了 Dirichlet外问题,显示了该方法的另一优越性。第二部分即第七章,研 讨了基于概率理论的其它主要数值方法:Monte(arlo有限差分法和 Monte(arlo有限元法。


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