平面多项式微分系统中心焦点判定与赤道极限环分支

【摘要】： 本论文研究平面多项式微分系统的中心焦点判定与赤道极限环分支，由七章组成。 在第一章，我们对平面多项式微分系统的中心焦点判定与赤道极限环分支问题研究的历史背景与现状进行了全面综述。 在第二章，我们研究平面多项式复自治微分系统原点的奇点量计算，得到了奇点量计算的线性代数递推公式，统一地给出了在实平面多项式微分系统的中心焦点判定与极限环分支中有着极为重要意义的焦点量与鞍点量的易于应用的计算公式。焦点量与鞍点量的计算至今尚无有效的方法，对比以往其他作者的工作，在计算方法上，我们避免了通常计算焦点量需要的非线性积分运算和求解多元方程组，使得焦点量极易在计算机上应用计算机符号运算系统进行快速计算和化简。首次给出并实现了鞍点量计算的公式算法。对任意正整数m，在用计算机程序推导原点的第m个奇点量(焦点量、鞍点量)时，只需以系统右端系数为符号进行有限次加、减、乘、除的四则运算和符号推导，并且奇点量直接由原系统系数表示。由于所牵涉的常数都是有理数，故在运算时不含舍入误差。利用这一公式我们极其简捷地推导出二次系统的前三个焦点量和鞍点量公式。同时给出了一类三次系统的前8个焦点量及中心条件和中心积分，首次给出了一个具10阶细鞍点的三次系统计算实例。 在第三章至第六章，我们研究实平面奇数次多项式微分系统无穷远点(赤道)的中心焦点判定与赤道极限环分支。在第三章中，我们研究一类三次系统的赤道环的稳定性和极限环分支问题。将这类实三次系统转化为复平面系统研究，给出了系统赤道环量的易于计算的线性代数递推公式。同时计算出系统的前6个赤道 环量，得到了系统在赤道邻域的可积性条件及在赤道附近分支出5个和6个极限 环的系数条件，从而首次给出了一个平面三次系统在赤道附近分支出6个极限环 的计算实例．在不构造Poincare环域的情况下，较为精确地指出了极限环的存在 位置．研究方法上不同于以往其他作者的工作． 在第四章和第五章，分别对一类五次系统和七次系统的无穷远点（赤道）的 中心条件和中心积分进行了完整研究．同时研究了系统的赤道极限环分支问题． 在第六章，我们研究一般实平面奇数次多项式微分系统 Ide＿、，，，。＿－，－ F一卜y十评（x“＋y丫十＞。X；（x，y） dt”‘””””W‘／，＼ ｝“‘I＝’（2） lap＝（X＋y）（X“＋y“）”＋＞。X（X，y） Idt”‘””””勺’”’” 其中X；，x 为X，y的i次齐次多项式．通过化实系统问）为复系统，给出了易 于计算的系统赤道环量的线性代数递推公式． 在第七章，通过把实系统等时中心引入复平面研究，定义了复中心和复等时 中心，给出了等时中心周期常数计算的简明的线性递推公式，证明了等时中心 判定的充分必要条件（时角差定理人 统一地处理了实系统具有可线性化的中心 和鞍点条件，并对一类实平面三次系统的等时中心条件进行了完整研究．最后， 研究了一类实平面五次系统的无穷远点的等时中心，给出了系统无穷远点为中心 和等时中心的全部条件．这是迄今对无穷远点（赤道）等时中心进行的首次研究．