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微分自治系统的几类极限环分支与等时中心问题

黄文韬  
【摘要】:本篇博士论文主要研究平面微分自治系统中心、等时中心与极限环分支问题,由7章组成。 第一章,对平面多项式微分系统中心、等时中心与极限环分支等问题的历史背景和研究现状进行了综述.归纳了本文所做的工作。 第二章研究了一类三次多项式系统由细焦点分支出极限环的问题,证明了该系统有12个小振幅极限环,证明过程是符号和代数的,且焦点量的表达式相对简单。 在第三章中,我们分别研究了一类三次多项式系统、一类五次多项式系统、一类七次多项式无穷远点的中心条件与极限环分支问题。得到了三次、五次、七次系统分别可以在无穷远点分支出7个、8个、9个大振幅极限环的结论,这几个结果是目前最好的。同时还研究了一类五次系统原点的中心条件及在同步扰动下原点与无穷远点的极限环分支问题。 在第四章,研究了一类五次多项式系统高次奇点与无穷远点的可积性条件与极限环分支问题,这是首次在一个系统中考虑高次奇点与无穷远点同步扰动分支出极限环问题,得到了该系统可以在原点(高次奇点)分支出5个极限环同时在无穷远点分支出2个极限环的结论。 在第五章,给出了计算多项式微分系统周期常数的一种算法,算法是线性递推的,用此算法求周期常数时,只需以系统右端系数为符号进行有限次加、减、乘、除四则运算,避免了现有方法的复杂的积分与三角函数运算,而且在计算机代数系统中用一个递归函数就能方便的实现。给出了等时中心的一个新的充分条件,作为递推公式的应用,我们还解决了一类多项式系统原点的中心与等时中心条件问题。 在第六章,给出一种研究一类微分系统无穷远点中心、等时中心与极限环分支的间接方法,通过一个同胚变换把系统无穷远点化为原点进行研究.作为新方法的应用,我们解决了一类多项式系统无穷远点的中心、极限环分支问题,同时还解决了两类有理系统无穷远点的等时中心问题。 最后一章给出了研究一类多项式系统高次奇点性质(可积性条件、极限环分支等)的一种新方法.作为应用,我们在复域中详细地求出了一类五次多项式系统的原点(高次奇点)成为中心、拟等时中心的条件。 每一章的主要计算过程均在附录中给出。


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