有理样条和代数曲线曲面样条的研究

【摘要】： 本篇博士论文主要研究有理插值曲线、代数插值(逼近)曲线曲面的构造及其性质等问题，共由八章组成。 首先对参数曲线曲面、代数曲线曲面等问题的历史背景和研究现状进行了综述，并归纳了本文所做的工作。 对有理插值曲线的研究，具体构造了一类含有三角函数与多项式函数的混合基函数，并提出了以该基函数构造的带有局部调整功能权因子的有理插值样条的方法，且对样条权因子的影响作了分析，最后还与常用的Hermite插值函数作了比较。另外还研究了一类有理[2m+1，2m]型分段多项式插值样条，该样条是Geogry有理插值样条的两种低次样条的推广，给出了该型样条的具体代数表示形式，并讨论了该样条的逼近阶及其保形情况，还结合一个经典的算例予以说明。 对代数曲线曲面的研究，第四章讨论了由三角形重心坐标的仿射变换而形成的B-B形式的一类四次隐代数样条，样条保留了部分Bernstein系数作为曲线的局部调整参数。利用该样条的端点性质，对给定的数据点列，可以利用该样条便利地构造G~2-连续的插值曲线，并对该曲线的保形及样条关于Bernstein系数的合理选取给予了证明，最后结合具体算例进行了分析。 第五章研究了一类三次分片C~1-连续插值代数曲面．由四面体重心坐标的仿射变换而得的B-B形式曲面样条，分别选取不同约束的Bernstein系数确定两类位于四面体内的代数曲面片，即：主基片、副基片，对给定的三角剖分，每个三角形外加一个控制顶点形成一个四面体，在四面体内生成一个主基片，相邻两个四面体之间生成一个副基片。通过约束相关Bernstein系数，得到一类关于该三角剖分的C~1-连续曲面，同时进行了算例演示。 第六章构造了一种空间代数逼近样条，该样条是由四面体内的两个代数曲面的交所确定的曲线，这两个代数曲面分别是二次和三次，这种低次曲面有较好的几何性质，同时又易于参数化，并可得到其参数形式。先固定二次曲面，然后约简三次曲面为带三参数的代数曲面，由此两曲面容易生成较光顺、带有较多形状因子的空间代数曲线，最后还对这类曲线的光顺性利用弹性能进行了分析。 最后一部分是在第六章的基础上，研究了在空间四面体内的马鞍面上，利用一类函数，构造一种类似Bézier曲线方法的参数样条，但这种样条具有更加简洁统一的形式，同时由函数决定的样条具有更多的可选择性，满足这类函数特征的不同函数均可以构造样条，且样条生成曲线易实现G~2-连续。