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鞅在风险模型中的应用

李俊海  
【摘要】: 风险模型是关于保险公司收入与索赔的随机模型,是保险产品设计及公司经营管理的理论基础。对索赔序列的不同概率假设形成了多种风险模型。鞅是一个重要的随机过程,它有许多优良性质,并已成为许多科学领域进行理论研究的一个重要工具。自从Gerber(1982)[18]把“鞅方法”引入风险理论以来,人们利用它研究了许多其它工具难以解决的问题,得到了许多著名的结果。为此,本文的主要目标是:用鞅方法研究各种最新风险模型,得出破产概率的上、下界。 论文的内容安排如下: 第一章,在第一小节中简单叙述当前存在的问题和打算采取的研究方法;在第二小节列出了本文研究过程中将要用到的随机过程基本知识。 第二章,总结了前人如何构造鞅,并用“鞅方法”对古典风险模型和更新模型进行研究所得的结果。 第三章,研究了多个索赔到达过程更新风险模型,在点间间距分布只要求是“绝对连续”的简单条件下,利用“鞅的乘积在一定条件下仍然是鞅”这一性质,分别得到了最终破产概率和有限时间破产概率的上界。 第四章,研究了二维索赔带干扰风险模型,利用鞅方法得到了破产概率的一个上界。在研究过程中假设二维索赔向量的分量之间可以具有相关性。并讨论了各个参数对上界的影响;同时给出了在索赔分布是重尾分布时有限时间破产概率的渐进表达式。 第五章,我们讨论了带随机利率离散风险模型。在折现率序列Y_1,…,Y_n,…是独立同分布、P(Y_i>0)=1且与索赔{X_i}独立条件下,利用“上、下鞅”工具,得到了破产概率的一个简单上界。并讨论了利率序列I_1,…,I_n,…是取值于有限状态空间Markov过程的风险模型,在-1<I_i≤0条件下,利用鞅方法得到了破产概率的一个下界,推广了Cai and Dickson(2004)[64]中Y_i=(1+I_i)~(-1)要求I_i>0的假设。同时,讨论了Y_1,…,Y_n,…(即I_1,…,I_n,…)是可列状态Markov过程时的破产概率,得到了一个指数型上界。另外,在很一般的条件下,利用“局部鞅”的概念得到了有限时间破产概率的一个与n有关的上界。此上界对较小的u也适用,从而弥补了渐进上界在u较小时误差非常大的不足之处。但有时此上界不存在,为此指出了上界可能不存在的一些条件。 第六章,研究了索赔到达过程是非齐次Markov’s更新过程时的风险模型,用“上鞅”为工具,得到了破产概率的指数型上界。并给出了一些特殊模型的结果。 第七章,研究了点间间距是混合指数分布的更新风险模型,得到了平均折现惩罚函数的Laplace变换的表达式。


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