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多项式微分自治系统的极限环与广义等时中心

王勤龙  
【摘要】: 本篇博士论文主要研究了多项式微分自治系统的极限环分支与广义等时中心问题,由5章组成. 第一章对平面多项式微分自治系统极限环分支、中心与可积性、等时中心与系统可性线化等问题的历史背景和研究现状进行了综述,并归纳了本文所作的工作. 第二章研究一类三对称四次多项式系统小振幅极限环的问题,用奇点量的方法计算焦点量,得到了一类四次多项式系统在细焦点分支16个小振幅极限环的结果.奇点量的表达式是符号的,极限环存在性证明过程是准确的符号运算(这一结果也见本人已发表或录用论文的第6篇). 在第三章中,我们主要研究了平面多项式系统与其平移系统无穷远点奇点量之间的关系,我们得到了两者为代数等价关系并从这一角度证明了在赤道环附近分支出极限环数目的平移不变性,并且以具体的例子来说明了这一结论(这一结果也见本人已发表或录用论文的第5篇). 在第四章,研究了一类五次系统原点复等时中心的问题.先通过最近由刘一戎和黄文韬所给出的一种新算法求出了这类五次系统原点的周期常数,从而得到复等时中心的必要条件,并利用一些有效途径证明它们的充分性.这实际上解决了这类五次系统的伴随系统原点等时中心问题与其自身为实系统时1∶—1型鞍点可线性化的问题.同时在等时中心条件的充分性证明中也运用了一些自己的方法(这一结果也见本人已发表或录用论文的第4篇). 在最后一章,我们研究了具有任意有理共振奇点的复自治多项式微分系统(即线性部分特征值比为n∶—m型奇点)的可标准化,可积性,线性化问题.给出了一种求广义周期常数的递推算法,利用此算法可以很容易求出共振奇点线性化的必要条件,也能容易判定奇点是否为等时中心或是否可线性化.它是第四章所述复周期常数概念与算法的推广,此算法给出的是线性递推公式,只需将系统右端系数作为符号进行有限次加、减、乘、除四则运算,避免了通常计算所需要的复杂积分与解方程的运算,从而比较容易在计算机上实现.我们具体研究了3:—m型Lotka-Volterra系统的可线性化问题,完整地给出了几类此型共振鞍点可线性化的条件;同时还系统地研究了几类Hamilton系统可线性化条件.此外在鞍点可线性化条件的充分性证明中也运用了许多自己的方法(相关结果也见本人已发表或录用论文的第7篇).


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