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各向异性元的收敛性与误差估计问题的研究

张翠翠  
【摘要】: 本文主要研究了各向异性网格下粘弹性方程和抛物型积分微分方程的收敛性问题以及各向异性网格下变系数抛物型方程变网格有限元法的误差阶估计问题,全文共由六章组成: 第一章主要对各向异性有限元的研究现状进行了概述,并将本文所做的工作进行了简单介绍。 第二章主要介绍了后面几章所用到的基础知识。 第三章讨论了粘弹性方程各向异性非协调元的收敛性分析。首先应用易于操作的各向异性插值定理求出插值的L_2模误差估计,然后讨论并得到了粘弹性方程有限元解的误差估计和超逼近性质,同时在超逼近的基础上,最后利用多项式检验的方法得到了粘弹性方程在单元中心点的点态超收敛结果。 第四章讨论了抛物型积分微分方程的各向异性三维线性元的收敛性分析。首先采用一种新的简便的方法——双线性引理的方法,证明了各向异性网格下积分恒等式成立,利用Bramble-Hilbert引理求出了插值的L_2模误差估计。然后讨论并得到了与传统有限元网格剖分下相同的超逼近性质和整体超收敛结果。同时在超逼近的基础上,最后利用多项式检验的方法得到了三维线性元单元中心点的点态超收敛结果。 第五章讨论了变系数抛物型方程各向异性变网格有限元法的误差阶估计。首先在各向异性网格下证明了椭圆投影的性质,然后利用此性质求出了各向异性协调元的能量模和L_2模误差估计式,分析并得到了最优能量模和L_2模误差估计。 第六章对本文所做的工作进行了总结,并对各向异性有限元领域进一步发展状况进行了展望。


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