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马尔可夫骨架过程极限理论

董海玲  
【摘要】: 本篇博士学位论文主要应用更新方法研究马尔可夫骨架过程的极限理论,进而得到马尔可夫骨架过程的大数定律、中心极限定理等重要结论,并把所得结果应用于半马尔可夫过程、排队系统、存储论和可靠性等方面的研究。 全文由七部分组成.下面简单介绍一下本文的结构: 第一章绪论部分主要是介绍一下从马尔可夫过程的定义及其研究到马尔可夫骨架过程定义引入的历史,并介绍这方面已有的工作及本文的主要工作。 第二章基础知识,介绍马尔可夫骨架过程的定义和基本性质,以及本文研究所需要的理论知识,主要包括:马尔可夫骨架过程的向后向前方程,马尔可夫骨架过程的正则性和有限维分布。本节略去大部分证明,只有第四节比较详细,因为作者做了部分的补充和证明。 第三章是论文的主要结果:马尔可夫骨架过程的极限理论.在第一节,我们给出了极限分布的定义和Doob骨架过程的定义。本章最重要的结果是马尔可夫骨架过程的极限理论。作者给出了极限分布存在的充要条件,去掉了原来要求的绝对连续的条件,并给出了极限分布的具体公式,证明对应的极限分布为概率分布。第三节,作者得到了马尔可夫骨架过程的一些重要的结果,如大数定律和中心极限定理等。 第四章给出马尔可夫骨架过程的几种重要特例,列举一些我们十分熟悉并很常用的随机过程:马尔可夫过程、半马尔可夫过程、逐段决定马尔可夫过程、Doob过程、再生过程、半再生过程,并根据定义通过严格证明,除了半再生过程需要补充变量外,都可以直接归入马尔可夫骨架过程的框架。 第五章将极限理论应用于半马尔可夫过程的研究,体现了马尔可夫骨架过程的理论价值。第一节得到了半马尔可夫过程的瞬时分布,即向前向后方程,得到的结果和Levy得到的结果是一致的,但我们采用的是马尔可夫骨架的方法,而且Levy当时对向前方程只是推测所得,作者给出了具体的推导。第二节作者将半马尔可夫过程的瞬时分布应用于M/G/1和GI/M/1排队系统队长的研究,分别体现了半马尔可夫过程向前和向后方程的意义:第三节是将第三章得到的马尔可夫骨架过程的极限理论应用于半马尔可夫过程的研究,得到了半马尔可夫过程的极限理论:第四节将半马尔可夫骨架过程的极限理论推广到更广泛的一类随机过程。 第六章主要是将马尔可夫骨架过程的理论应用于GI/G/1排队系统,体现马尔可夫骨架过程的应用价值。作者研究GI/G/1排队系统的三个重要指标:忙期、队长及等待时间,分别得到它们的瞬时分布、极限分布和中心极限定理等结果。侯振挺教授在这部分已经进行过一些研究,得到了一些结果,作者正是在原来所做的研究的基础上,做进一步的完善和补充,得到了一些新的结果。 第七章主要是将马尔可夫骨架过程的理论应用于存储论和可靠性的研究。第一节研究易腐烂模型,得到了它的瞬时分布和极限分布.第二节研究不腐烂模型的极限分布.第三节研究串联系统,得到了它的瞬时分布和极限分布.第四节研究并联系统,得到了它的瞬时分布和极限分布。


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