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不适定问题的正则化方法

李景  
【摘要】: 本文针对几类具体的反问题采用不同的正则化方法,分析了其正则解的收敛性及收敛率.同时也将Hilbert空间中的Landweber迭代法推广到了Banach空间,研究了其方法的可行性. 在第二章中,主要研究了一类半线性热传导偏微分方程的反系数问题,在弱来源条件成立的条件下,利用最小二乘法讨论了抛物型方程逼近系数与逼近解的收敛率. 而第三章主要研究了电化学实验中,控制电压下,物质传输过程模型,得出一个非线性抛物型方程.从反系数的观点,我们分析了反系数问题中输入-输出映射的单调性.此外,把所得的非线性抛物型方程推广到了一个更为一般的情形.考虑了推广后的非线性抛物型方程拟解的存在性. 第四章则利用简化Tikhonov方法讨论了一维截面抛物型方程和二维热传导方程逼近解的收敛率.对于一般的Tikhonov方法,在证明收敛率时都用到了来源性条件.而本章中,对于几类具体的抛物型方程,利用傅立叶变换,然后再采用简化的Tikhonov正则化方法,在无需来源条件下,仍可得到逼近解的收敛率,且其收敛阶为最优阶.实验证明了简化Tikhonov正则化方法的实用性. 最后一章,将Hilbert空间的Landweber迭代法推广到了Banach空间,即这一章中,我们给出了迭代法的收敛性.


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