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平面多项式微分自治系统的等时性与极限环分支

吴玉森  
【摘要】: 本篇博士论文主要研究平面多项式微分自治系统的等时性与极限环分支问题,全文由七章组成. 第一章全面综述了平面多项式微分自治系统的极限环分支、中心与可积性、等时中心与可线性化等问题的历史背景和研究现状,并简单介绍了一下本文的特色工作. 第二章研究了一类含两个小参数和九个普通参数的七次多项式系统的高次奇点与无穷远点的中心条件与极限环分支问题.该系统的原点是高次奇点,赤道环上没有实奇点.首先在个人计算机上用计算机代数系统Mathematica推导出该系统高次奇点的前9个奇点量和无穷远点的前7个奇点量,然后讨论了系统高次奇点和无穷远点的中心判据.最后在高次奇点和无穷远点的同步扰动下,得到了这个系统{(8),3}和{(3),6}的极限环分布. 第三章研究了一类七次多项式系统高次奇点的中心、拟等时中心条件与极限环分支问题.首先通过同胚变换和复变换将系统的高次奇点化为复域中的初等原点,然后求出了新系统在原点的前45个奇点量,从而导出了高次奇点为中心和最高阶细焦点的条件.在此基础上给出了七次系统在高次奇点分支出8个极限环的实例.最后通过一种新的算法求出高次奇点为中心时的周期常数,得到了高次奇点为拟等时中心的必要条件,并利用一些有效途径一一证明了这些条件的充分性. 第四章研究了具有4:-m型与5:-m型有理共振奇点的Lotka-Volterra系统的可线性化问题.计算广义周期常数是寻找具有有理共振比率系统可线性化条件的一种行之有效的方法.我们通过一种新的递推算法来寻找可线性化的必要条件,应用此法无须事先解决系统的可积性问题.最后,我们通过各种方法证明了这些条件的充分性. 在第五章中,我们研究多项式系统p:-q型共振奇点的可线性化问题.首先,我们通过一个同胚变换将奇点转化为原点.进一步地,我们推导出了计算所谓的广义周期常数的递推算法.此算法给出的是线性递推公式,只需将系统右端系数作为符号进行有限次的加、减、乘、除四则运算,避免了通常计算所需要的复杂积分和三角函数运算,从而比较容易在个人计算机上实现.最后,作为此算法的应用,我们研究了一类七次多项式系统退化奇点的拟等时中心问题和4:-5型Lotka-Volterra系统的可线性化问题. 在第六章中,我们研究了实平面拟三次解析系统的等时中心问题.所采用的技巧是通过同胚变换把拟三次解析系统转换为解析系统来处理.运用计算机代数系统Mathematica,我们计算了新系统原点的周期常数并且得到了其为等时中心的必要条件.最后,我们通过多种方法证明了这些条件的充分性.已有的三次系统原点的等时中心条件是本章结果的特例. 在第七章中,我们研究了一类三次Lyapunov系统三次幂零奇点的中心问题与极限环分支.我们应用计算机代数系统Mathematica推导出了这个系统原点的前7个拟Lyapunov常数,在此基础上,我们得到了原点为中心的充分必要条件,并且给出了一个在三次幂零奇点分支出7个极限环的三次系统实例.


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