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时滞微分方程的Hopf分支的时域与频域分析

徐昌进  
【摘要】: 本篇博士学位论文由六章组成. 第一章,简述时滞微分方程的历史背景,时滞微分方程的Hopf分支的历史发展与研究现状,阐述问题产生的背景和本文的主要工作. 第二章,简单介绍时滞微分方程的稳定性理论,时域中的Hopf分支理论、中心流形和规范型理论、全局Hopf分支理论、频域中的Hopf分支理论及一些与本论文研究相关的重要背景知识. 第三章,我们研究了一类具有双时滞的5维BAM神经网络模型,得到了该系统平衡点渐近稳定的充分条件和Hopf分支产生的的充分条件;用时域中的Hopf分支理论及中心流形和规范型理论,给出了确定Hopf分支方向和Hopf分支周期解稳定性及周期的具体计算表达式,并给出实例进行数值模拟验证我们所得结论的正确性. 第四章,我们用时域中的Hopf分支理论及中心流形和规范型理论研究了一类具有多时滞的6维BAM神经网络模型,得到了系统平衡点渐近稳定的充分条件和Hopf分支产生的充分条件,同时给出了确定Hopf分支方向和Hopf分支周期解稳定性及周期的具体计算表达式,并给出实例进行数值模拟验证我们所得结论的正确性. 第五章,我们研究了一类具有时滞和依赖时滞的变系数的2维捕食模型.通过分析其相应的特征超越方程,研究了系统的线性稳定性,用时域中的Hopf分支理论研究了Hopf分支产生的的条件,同时运用中心流形和规范型理论,给出了确定Hopf分支方向和Hopf分支周期解稳定性及周期的具体计算表达式.并给出实例进行数值模拟验证我们所得结论的正确性. 第六章,我们用频域法研究了一类双时滞的3阶BAM神经网络模型,确定了Hopf分支点的存在性,以时滞为参数,研究Hopf分支现象,当分支参数通过某一临界值时,Hopf分支产生;利用图示Hopf分支定理给出了频域法中的确定Hopf分支方向及Hopf分支周期解的稳定性的方向指标和稳定性指标. 最后,对本论文工作进行全面的总结,提出一些期待解决的问题,并对未来的研究方向进行展望.


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