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几类分数微分方程的求解问题

盛红林  
【摘要】:近年来,分数阶微分方程已被广泛地研究并应用于物理、力学、生物、医药等众多学科和领域中并取得了较大成果。综观其发展过程,它不仅显示出深厚的研究背景和良好的应用基础,而且具有广阔的发展空间。因而,对分数阶微分方程的基本理论,基本性质以及求解方法的研究就显得尤为重要,它为其进一步的应用奠定坚实的基础。 本文主要做了以下工作: 一、介绍了关于分数阶微积分的一些预备知识,给出了分数阶微积分的一些基本定义和性质。 二、考虑分数回归模型,导出了用格林函数表示其解析解,并且利用算子方法也可以解出它的精确解,我们很明显的可以看出它的解析解和精确解很难数值的表示出来,于是我们便提出一种计算有效的方法,即泰勒公式法来求出它的近似解。 三、从基本的分数阶常微分方程出发,首先给出其解的存在性和唯一性,然后对提出的一个关于分数阶导数的高阶近似,将其应用于分数阶微分方程,构造高阶数值差分格式来进行分数阶微分方程的数值求解,并在理论上给出这一算法的误差分析,证明了它的相容性,收敛性和稳定性。


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