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关于Toeplitz+Hankel线性方程组的迭代解法

刘晓玲  
【摘要】:Toeplitz、Hankel和Toeplitz+Hankel系数矩阵的线性方程组广泛应用于信号处理等工程领域,直接法和迭代法是目前求解线性方程组的两种主要的方法。对于逆散问题可以直接公式化为Toeplitz、Hankel和Toeplitz+Hankel矩阵,利用其逆的公式求解;利用Toeplitz和Hankel矩阵的特殊结构,Levinson或者Schur算法的快速直接法求解一个n×n阶的Toeplitz+Hankel线性方程组的计算复杂度为O(n2);用直接分裂算法求解n×n阶Toeplitz+Hankel矩阵的逆的计算复杂度为O(n2)。尽管这些算法的计算复杂度低于Gaussian消元法的计算复杂度O(n3),但是当求解不正定和不对称的矩阵时,它们的稳定性就不能保证。所以对大型的线性方程组,通常使用迭代法求解。本文研究用预处理迭代法求解Toeplitz+Hankel线性方程组,提出了一类新的预条件子,并验证了预处理矩阵的谱的性质,结果表明:当Toeplitz和Hankel矩阵的生成函数在Wiener类里时,预处理矩阵的特征值聚集在1附近。该预处理子构造简单,可实施快速傅里叶变换。使用预处理的Krylov子空间方法,可以将n×n阶Toeplitz+Hankel线性方程组的复杂度降为O(nlogn)。数值实验表明该预处理子是比参考文献[2]中的预处理子是有效的。本文论文结构共分为五个部分,下面介绍一下:第一章、介绍了本课题的研究背景,研究现状,研究内容以及本文的创新工作。第二章、介绍本文中涉及到的一些定义、引理、定理及其基本性质。第三章、介绍共轭梯度法(CG)、共轭梯度平方法(CGS)、广义最小残量法(GMRES)以及各自相对应的预处理的迭代法,然后分析它们的性质。第四章、混合预处理子的构造,并分析预处理矩阵的谱性质。本章分为三节,分别讨论Toeplitz矩阵对称正定时、Toeplitz矩阵正定非对称时、Toeplitz矩阵非对称不定时,预处理子的构造并分析其预处理矩阵的谱性质。第五章、针对不同形式的Toeplitz矩阵,分析数值试验,得出结论。


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