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关于正定Toeplitz线性方程组定常迭代法的研究

秦小蓉  
【摘要】:Toeplitz和Toeplitz相关的线性方程组在数学和工程中的应用越来越广泛,包括信息与图像处理、排队论与控制论、微分方程与积分方程的数值解等,所以系统地考察Toeplitz线性方程组的有效算法,具有重大的科学价值.直接法及迭代法是目前求解此类型线性方程组的两种主要的方法,一般来说直接解法数值不稳定,而迭代解法较之更稳定,并且在实际的Toeplitz线性方程组求解过程中,一个有效的迭代格式能够为Krylov子空间法提供有效的预处理子.这些都极大地鼓舞着科学工作者去探讨快速有效的算法来得到Toeplitz线性方程组的解.本论文主要研究Hermitian正定Toeplitz线性方程组Tx = b的迭代解法.众所周知,若T是一个Toeplitz矩阵,那么T存在一个循环与反循环分裂T = C-S,其中C为循环矩阵,S为反循环矩阵(记为CSCS).基于该CSCS分裂,本文首先构造了古典的CSCS分裂方法,然后进一步提出了带位移的CSCS分裂方法来求解Hermitian正定Toeplitz线性方程组,我们对各种方法的收敛性做了理论分析,为了证明收敛性结论的有效性,我们做了大量数值实验,实验结果表明:(1)若Toeplitz矩阵T分裂形成的的循环反循环矩阵T= C-S为P-正则分裂,则迭代矩阵的谱半径小于1,且原线性方程组收敛于唯一解,另外,与Gauss-Seidel(记为GS)迭代法相比,CSCS迭代具有更快的收敛速度;(2)无论CSCS分裂迭代法是否具有收敛性,都存在一个参数α,使得带位移的CSCS分裂解法收敛速度明显快于Gauss-Seidel法和古典CSCS迭代法,这些更加凸显了我们方法的优越性.本论文总共分为六章,章节介绍如下:第一章是绪论,简要介绍了 Toeplitz线性方程组的研究背景、研究现状、本论文的研究内容以及创新之处.第二章为预备知识,简要介绍文中经常用到的定义、引理及基本性质.第三章主要阐述几种基本的迭代法,有古典迭代法中的Gauss-Seidel、Jacobi、SOR和SSOR迭代法.第四章第一部分主要研究Hermitian正定Toeplitz线性方程组的循环和反循环分裂(CSCS)迭代法,第二部分是关于古典Gauss-Seidel迭代法,并对二者的算法进行了比较.第五章针对Hermitian正定Toeplitz线性方程组提出了一种新的的解法——带位移的循环和反循环分裂迭代法,并分析了其收敛性质.第六章为数值实验,针对不同形式的分裂矩阵,分析数值实验结果并将各种算法进行比较,最后得出结论.


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