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一类非线性发展方程解的存在性及渐近行为研究

杨莉  
【摘要】: 本文研究如下一类高阶非线性耗散、色散波动方程的初边值问题的长时间行为:其中2≤r≤6,μ 0,Ω? 3是具有适当光滑边界?Ω的有界区域,u ( x , t )为未知函数, f∈1( )为给定的满足适当条件的非线性项, g∈L2 (Ω)为给定泛函. 该系统作为一类非线性发展方程,在数学物理中有广泛应用.可以描述非线性弹性杆中纵波等具色散效应的非线性波动问题及弱非线性作用下空间变换离子声波传播问题.又如描述跨声速区域可压缩气体流动的Karman方程等等. 由于该系统中含有非线性项( ut r? 2ut )t和Δu tt,直接利用能量估计结合经典的Gronwall引理不能得到系统的耗散性与紧性.因此,在本文中我们将采用扩展的Gronwall引理及适当的分析方法及技巧解决此问题. 首先,在第三章中我们利用Galerkin逼近并结合能量估计方法,获得了系统(Q)整体弱解的存在性与唯一性,其中非线性项f具有临界Sobolev指数增长. 其次,在第四章中运用渐近光滑方法研究3≤r≤6时系统解半群{ S (t )} t≥0在1 1H 0 (Ω)×H0(Ω)中全局吸引子的存在性. 最后,在第五章中运用ω-极限紧方法证明了系统(Q)整体强解对应的解半群{ S (t )} t≥0在D ( A)×D ( A)中的全局吸引子的存在性.


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