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随机环境中的分枝模型与带壁生灭过程的统一数字特征

汪和松  
【摘要】:分枝过程和生灭过程是概率论中两个经典且非常活跃的研究领域,它们不仅自身具有重要的理论意义,而且还有着十分广泛的应用背景。本文的研究内容主要包括随机环境中的分枝模型和带壁生灭过程的统一数字特征两个部分,第一部分包括第二章到第六章,第二部分指第七章。其中随机环境中的分枝模型是Galton-Watson分枝过程的自然而重要的推广,而带壁生灭过程的统一数字特征为用概率方法构造该过程及进一步研究其爆炸后的性质提供了基础。 第一章,我们首先分别综述了分枝过程与生灭过程各自的研究背景和历史,然后介绍了本文的主要结果和结构安排。 第二章,对于平稳遍历环境ξ中上临界情形的分枝过程Zn,我们主要研究了Wn=Zn/E[Zn|ξ]收敛到W∞的收敛速率:建立了在合适条件下,规范化后的W∞-Wn和Wn+k-Wn,k≥1的中心极限定理;并在环境ξ是独立同分布的特别情形下,进一步给出了该中心极限定理的收敛速率的Berry-Essen边界,然后我们讨论了相应的重对数律。这些结果推广了Galton-Watson分枝过程中相应的结果。 第三章,我们考虑了随机时间环境中分枝随机游动模型,对A(?)R,令Zn(A)表示第n代粒子中落在区域A中的粒子数,我们得到了该计数测度Zn(·)在合适的规范化后中心极限定理的两个结果,推广了经典分枝随机游动中相应的结果。 第四章,我们首先引入了随机环境ξ中Sevast'yanov分枝过程Z(t),推广了随机环境中依赖年龄的分枝过程模型。然后,我们研究了该过程的条件概率母函数E[sZ(t)|ξ]所满足的积分方程,并研究了均值Ez(t)的渐近性质:给出了该均值以指数增长的条件。这些结果推广了随机环境中依赖年龄的分枝过程情形下相应的结果。 第五章,我们首先引入了变化环境下带随机指标的分枝过程模型,该过程是一个变化环境中的分枝过程与一个更新过程的复合。令Yt和或Yt分别表示t时刻存活的粒子数和到t时刻为止所有存活过的粒子数,Zn表示嵌入的变化环境中的分枝过程。接着利用经典的变化环境下分枝过程Zn的结论,考虑了该过程Yt的灭绝问题;然后给出了该过程矩EYt和EYt有限的条件,最后在上临界情形下,当EZn是正则变化时,进一步研究EYt和EYt的增长速率。 第六章,我们引入了随机环境中马氏链的各种常返与暂留的概念,并讨论了各种常返、暂留之间的等价关系及暂留的判别准则。 第七章,我们首先引入了带壁生灭过程的统一数字特征,并得到了用数字特征表达的相关方程的解。该工作是用概率的方法构造飞射和拟飞射情形下生灭过程的基础工作,也是进一步研究生灭过程爆炸后性质的必要工作。


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