平均间断有限元的强超收敛性及其应用
【摘要】：常微分方程(组)的初值问题广泛出现在科学技术及经济等领域中,它们的数值求解已有许多好算法,比如差分法和有限元法.近年来,间断有限元法越来越受到学者们的关注,因为它不仅精度高,而且对解的光滑性要求较低.
本文研究一类具有强超收敛性的平均间断有限元,主要工作和创新点如下：
(1)对线性及非线性常微分方程初值问题,研究k次平均间断有限元,当k为偶数时,首次证明了在节点上的平均通量Usj=(U-j+U+j)/2(间断有限元在节点上的左右极限的平均值),具有最高阶强超收敛性O(h2k+2).这是目前所知的所有有限元法中能得到的最高阶超收敛结果.1981年M. Delfour等数值计算发现了这一点,但是没有证明,此后一直无人证明.本文的数值试验也证实了这个最高阶超收敛结果,并且发现单元内部还有超收敛点.
(2) Hamilton系统是最重要的动力系统之一Hamilton系统有三个重要性质：能量守恒、辛结构和周期解.对需要作长时间计算的问题,如何构造计算格式保持这些特性是非常重要的.对Hamilton系统,本文首次讨论平均间断有限元的长时间性质.数值试验表明：平均间断有限元的轨道偏离随时间线性增长(冯康猜想成立),并且能量保持拟守恒(能量偏离不随时间增长).
(3)对具有动量守恒的非线性Hamilton系统(如Kepler系统,常微及偏微Schrodinger方程组),首次发现平均间断有限元在节点上是动量守恒的.以前的连续有限元具有能量守恒性；其它的间断有限元一般都不具有能量守恒性及动量守恒性.这些性质被数值试验所证实.
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