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变系数奇异摄动常微分方程DG法

赵稳  
【摘要】:奇异摄动常微分方程的初值问题出现在很多领域,比如:科学技术和经济领域等.也曾用其他方法求解:如差分法,谱方法和连续有限元法.最近几年发展的间断有限元方法(DG法)的应用非常广泛,人们也越来越热衷于用此方法来求解各类方程.它最大的优点是逼近解很稳定,不出现振荡现象;其次是精度高,有超收敛性;而且还有一个特征是降低了对解的光滑性要求,这也是将它运用于解决其他各种数学物理等问题的巨大推动力. 本文讨论用m次间断有限元(DG)解变系数奇异摄动常微分方程初值问题ex+b(x)u=f(x),u(0)=u0,b(x)=1-x, x∈J=[0,1].问题有新的特点:1.是变系数b(χ)=1-χ,且在右端点χ=1处为0;2.有双重奇异性.在问题中,χ=0为边界层,而χ=1为转点,有内边界层,解有u=O(∈-1/2).在奇点χ=0的边界层,确定τ=(m+1)d|lne|/b(0),如常系数情形相同,m次DG仍为Radau点结构.但在χT时遇到本质的新困难. 本文主要工作及创新点如下: 1.将讨论区间(0,1)分为3段:奇异段J0=(0,τ),τ=(m+1)e|lne|/b(0),确定,光滑段J1=(τ,1-T),T=c(?)及内边界层J2=(1-T,1).基于解的表示.研究在各段的正则性质. 2.正确地划分了内边界层厚度τ=(?),N是剖分数,c可以根据推导确定.按理论分析的启示,在J1段采用了变步长hj=hb(xj),使DG在J1段保持了Gauss点超收敛阶O(hm+2). 3.在确定内边界层的厚度T后,在J2段采用了均匀网格计算,使DG结果表明为Radau点结构.


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