Schr?dinger方程的多重网格法研究

【摘要】：Schr?dinger方程被广泛地应用于核物理、光学、生命科学等不同领域,但实际中的复杂问题并不易求得其精确解。随着计算机技术的发展,这些复杂问题的数值求解越来越受到重视。然而,由于Schr?dinger方程特殊的耦合性,又涉及复函数甚至非线性等,采用经典的离散方法在大规模计算和长时间模拟上仍然有很大的困难。所以构建高效的数值解法非常有必要。本文研究Schr?dinger方程的快速求解方法,主要分两部分。第一部分,针对非线性Schr?dinger方程的初边值问题,研究其两网格方法。具体工作如下:采用改进的Crank-Nicolson格式和线性Galerkin有限元对问题进行离散,从理论上证明了全离散格式是质量守恒的,并通过误差分裂技术得到了全离散解的L~2模和H~1模误差估计。然后,针对上述离散系统,构建了两种两网格算法。即,粗网格上,求解一个耦合的代数系统,细网格上,采用前一时间层和粗网格对应时间层的已知量作某种组合,得到两种解耦系统,并给出了第一种算法的收敛性分析。最后,数值实验表明,新的两网格算法在H~1范数意义下可达到最优收敛阶,验证了算法的高效性。第二部分,针对线性Schr?dinger方程的初边值问题,构造了瀑布式多重网格算法和外推瀑布式多重网格算法。并通过数值实验,将新算法与直接共轭梯度法进行比较,数值结果显示外推瀑布式多重网格算法具有更好的收敛性和高效性。