常微分方程初值问题连续有限元法的超收敛和稳定性估计

【摘要】： 本文针对一阶线性常微分方程初值问题的连续有限元法的超收敛性和稳定性作了分析，并对一阶线性常微分方程初值问题的具有4阶精度的三类数值方法——经典Runge-Kutta法(单步法)，Adams隐式格式(多步法)，连续有限元法的稳定性作了比较。 在对m次连续有限元的超收敛性进行分析时，由 u-u_h=u-u_l+u_l-u_h=R+θ，R=sum from J=m+1 to ∞(b_JM_l(t)。在R中补充若干待定低次项，使它满足更多的正交性条件，即R=sum form J=2 to m(b_J~*M_l(t))+sum from J=m+1 to ∞(b_JM_j(t)，从而使构造的u_l超接近于有限元解u_h，推导出连续有限元在节点上具有0(h~(2m))的超收敛性，在单元内部m+1阶Lobatto点上具有0(h~(m+2))的超收敛性。 在对上述4阶方法的绝对稳定区域进行比较时，我们将一阶线性常微分方程初值问题模型化：u′=λu(λ为实常数)。经典Runge-Kutta法的绝对稳定区域为(0,(-2.78)/λ)，Adams隐式格式的绝对稳定区域为(0,(-3)/λ)，2次连续有限元法的绝对稳定区域为(-∞,0)。连续有限元法有着更大的稳定区域，而且实际计算的精度更好。