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几种线性矩阵方程的约束解及其逼近

姚国柱  
【摘要】:线性矩阵方程广泛地出现在结构分析、系统参数识别、自动控制、非线性规划等许多领域,关于线性矩阵方程的研究有重要的理论和实际价值。本文我们研究如下问题: 问题Ⅰ 给定X,B∈R~(n×m),SR~(n×n)。找A∈S,使得 AX=B; 问题Ⅱ 给定X,B∈R~(n×m),SR~(n×n)。找A∈S,使得 ‖AX-B‖_F=min; 问题Ⅲ 给定A∈R~(m×n),B∈R~(n×p),D∈R~(m×p),SR~(n×n)。找X∈S,使得 ‖AXB-D‖_F=min; 问题Ⅳ 给定A~*∈R~(n×n),找(?)∈S_E,使得这里,S_E表示问题Ⅰ或Ⅱ或Ⅲ的解集合。 本文的主要结果如下: 1.当S是有界闭集时,我们给出了问题Ⅰ与问题Ⅱ的解的表达式。此外,相应的问题Ⅳ也得到了解决,这一结果推广和深化了文中张磊教授的相应结论。 2.当S是全体对称正交非负定矩阵的集合时,我们讨论了问题Ⅰ与问题Ⅳ并得到了它们的解。 3.对于线性流形,我们成功地解决了问题Ⅱ与问题Ⅳ。当S为子空间时,我们给出了问题Ⅰ有解的充分必要条件及问题Ⅰ与问题Ⅳ解的表达式。事实上,若用X∧代替B,问题Ⅰ即成为逆特征值问题,这里∧为对角矩阵,此时,我们得到了问题Ⅰ的可相似化亚半正定解及可相似化亚正定解。 4.运用矩阵对的QSVD与GSVD,我们分别得到了问题Ⅲ在线性流形上及当S为Hermite矩阵(此时问题Ⅲ中,相应实矩阵应改为复矩阵)时的解。很明显,AXA~T=B可以看作AXB=C的一种特殊情形, 湖南师范大学2004届硕士学位论文 对于这种情况,通过运用矩阵对的CCD我们获得了它在线性流形 S二{x任£尸尺”xn}}}XZ一YII一min}上的最小二乘对称正交对称解.


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