抛物问题时间连续全离散有限元的超收敛性

【摘要】：本文在Delfour提出的常微分方程的有限元思想的基础上，利用对偶论证和单元上的正交展开方法，简明论证了一阶常微分初值问题的m次连续有限元和间断有限元在节点及内部特征点的超收敛性。利用张量积分解将常微分方程的连续有限元的超收敛性推广到抛物型方程，证明了抛物型的全离散有限元在节点和内部的特征点的超收敛型。并用连续有限元计算了非线性Schrodinger方程，验证了能量的守恒性。 主要结果如下： (1) 利用两类单元正交展开，结合对偶论证思想，较简明的论证了一阶线性常微分方程的连续有限元和间断有限元解在单元节点和内部特征点的超收敛性。并采用一种简化连续性方法将连续有限元超收敛结果推广到非线性问题。 (2) 在Thomee提出的抛物问题的有限元思想的基础上，采用Douglas等人对椭圆问题提出的张量积思想应用到抛物型方程的时空变量，证明了线性抛物问题时空全离散连续有限元解U∈S~k(?)S_0~h在单元I_j=(t_j-(?)t_j)内部m+1阶Lobatto特征点t_(?)上有超收敛性：其中S~k是时间的m次有限元空间，S_0~h空间方向的n次有限元空间。Z_h为Ω上的n+1阶Lobatto点集 (3) 对非线性Schrodinger常微分和偏微分方程的两种情形，用连续有限元求解，验证了其能量积分保持守恒，而动量近似守恒，误差为高阶精度，并在数值计算上探讨了守恒性和近似程度，结果与理论相吻合。