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多项式复合与Gr(?)bner基的性质与计算研究

刘金旺  
【摘要】:本文研究多项式复合与Gr(?)bner基的性质与计算。 设K[x_1,x_2,…,x_n]是域K上关于变量x_1,x_2,…,x_n的多元多项式环,θ=(θ_1,θ_2,…,θ_n)是一个有序多项式组,多项式f(x_1,x_2,…,x_n)关于θ的复合是多项式f(θ_1,θ_2,…,θ_n),记为fοθ.设F是K[x_1,x_2,…,x_n]的一个非零子集,规定Fοθ={fοθ|f∈F}.我们说子集G是一个Gr(?)bner基,如果G是由G生成理想Ideal(G)的Gr(?)bner基,说多项式复合θ与Gr(?)bner基的计算可交换,如果对任意Gr(?)bner基G,Gοθ仍是Gr(?)bner基,说多项式复合θ与项序相容,如果(?)p(?)q,pq=pοlt(θ)qοlt(θ). 首先,我们给出Hoon Hong关于多项式复合下Gr(?)bner基性质的经典定理的新证明,该证明相比简洁得多,且方法新颖、技巧性强。接着讨论多项式复合下泛Gr(?)bner基、单项式Gr(?)bner基、齐次Gr(?)bner基、Γ-齐次Gr(?)bner基的性质与计算,分别得到了多项式复合与泛Gr(?)bner基、单项式Gr(?)bner基、齐次Gr(?)bner基、Γ-齐次Gr(?)bner基、λ-Gr(?)bner基的计算可交换的等价条件。我们的结果克服了以前研究多项式复合只与整体Gr(?)bner基相关的单一性,丰富了研究多项式复合与Gr(?)bner基的研究内容,尤其是首次对多项式复合下某类Gr(?)bner基的性质展开研究,这是一个较大的突破。 接下来我们研究多项式复合θ与项序的相容性、齐次相容性、Γ-齐次相容性,给出了具体的算法(判定方法),这样,我们既解决了Hoon Hong于1998年提出的开问题,又把抽象的代数条件具体化,使之更便于判别与应用。接着我们研究多项式复合运算的性质,并对几类常见的项序给出了多项式复合的具体形式。 最后,我们研究微分算子环(代数)、Clifford与Grassmann代数的Gr(?)bner基及理想的成员问题,得到了一些有趣的结果。我们能更好地运用外微分系统的技术研究在物理中提出的偏微分方程系统的性质,尤其是明确给出了微分算子代数中某些左理想的Gr(?)bner基,为研究某些微分方程组提供了一种新方法。我们也刻划了双斜多项式的双边理想的成员问题。


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