带扩散和交叉扩散的生态数学模型的研究

【摘要】：本文研究这样的一类捕食模型:捕食者不但有模型中被捕食者作为食物,而且还有其它固定的自然食物源。我们主要研究带齐次Neumann边界条件的捕食模型和带混合边界条件的捕食模型。对于带齐次Neumann边界条件的捕食模型,因为自扩散常常不能产生非常数正稳态解,所以,我们在模型中引进了一种交叉扩散,这种交叉扩散描述了由于被捕食者的群体保护作用,捕食者避开大群的食物(被捕食者)。这种交叉扩散现象在许多生态环境中出现。本文主要使用度理论证明了这些捕食模型在一定条件下存在非常数正稳态解。同时,根据分歧理论,我们也研究了部分稳态模型的非常数正解的局部或全局分歧,局部稳定性以及渐近性.本文共分八章,具体如下: 第一章概述生态数学模型的背景、研究成果和进展。第二章介绍一些预备知识,我们将使用这些知识证明本文的捕食模型正稳态解的存在性和非存在性。 第三章研究一个带自扩散和混合边界条件的捕食模型。在这个模型中,捕食者的增长率(cu)/(γ+u~2)表示当食物密度u较小时它近似于(cu)/γ,而当食物u的密度较大时捕食者的增长被抑制;并且被捕食者带齐次Neumann边界条件,而捕食者带齐次Robin边界条件。首先,我们证明了:如果bd_2λ_1,那么,稳态问题存在正解的充分必要条件是aμ_1((mθ_b)/d_1)d_1。同时,我们也讨论了当bλ_1d_2时捕食模型正稳态解的存在性和非存在性。其次,我们获得了正稳态解的局部稳定性和唯一性。最后,讨论了当扩散参数充分大时稳态问题和捕食模型的极限情况。 第四章继续研究第三章的捕食模型,但是,互换了边界条件。我们获得了与第三章类似的结果。在这种边界条件下捕食模型存在正稳态解的充要条件是amb+d_1λ_1。 第五章研究一个带交叉扩散的Lotka-Volterra捕食模型。我们证明了如果当0m_1m_21时m_1ba(2m_1b)/(1-m_1m_2)或当m_m_2≥1时am_1b使得m_1(?)(?),其中((?),(?))是捕食模型的常数正解,并且d_1(m_1(?)-(?))/μ_1,d_41/(m_1(?)-(?)),那么,存在适当的(d_1,d_2,d_3,d_4)使得捕食模型存在非常数正稳态解。这说明