有限元超收敛后处理技术

【摘要】：有限元法是解偏微分方程的有效方法之一。但是有限元解的导数在单元边界不连续且整体精度不高。因而如何提高有限元解的精度引起了许多计算数学家的兴趣。 1992年O.C.Zienkiewicz-J.Z.Zhu提出了超收敛单元片恢复技术(简称SPR技术),由于它具有计算简单、效果显著、易于理解、和现有的有限元应用软件接口方便等等特点,因此一经提出就受到了工程界的广泛欢迎,并被Babuska等人认为是用于渐进准确的后验误差估计效果最好的技术之一。从此有限元超收敛后处理技术从理论研究走向了实际应用。有趣的是,利用这种技术,在一致剖分意义下,对偶次有限元都可以获得内节点应力的强超收敛结果;而对奇次有限元只能在内节点处获得应力高一阶的精度,而不能获得强超收敛结果。 1995年以来Z.M.Zhang,J.Z.Zhu,B.Li等人已经对SPR技术得到的关于两点边值问题、矩形元、三角形线元等结果都给予了理论上的证明;但对三角形二次元强超收敛结果的证明难度太大,一直没有人给出。 本文主要讨论了有限元超收敛后处理技术。从渐进展开入手着重讨论了对SPR技术的改进,获得了奇次元的强超收敛结果,弥补了SPR技术的缺陷;从研究恢复算子的特性入手,利用对称处理技巧,解决了三角形二次元强超收敛的证明难题。 本文在好几个方面做出了较出色的工作,主要创新之处为: 1.对一维和二维的奇次有限元提出了一种新的恢复技巧,获得了导数的强超收敛结果,对三次元甚至获得了O(h~6)的结果,这是利用SPR技术做不到的,也弥补了利用SPR技术对奇次元仅获得超收敛的缺陷,参见第五章第二节; 2.对三角形二次元的SPR技术作了改进,获得了与SPR技术同样的强超收敛结果,而且从理论上证明了SPR技术所获得的结果,这是还没有人证明的,参见第五章第一节; 3.从有限元的超逼近出发我们发现了一个证明恢复算子具有超收敛