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线性流形上矩阵方程A~TXA=B的解

李珍珠  
【摘要】:本论文研究线性流形上矩阵方程A~TXA=B的解,由六章组成。 在第一章,我们对矩阵方程A~TXA=B的解问题的历史背景与现状进行了综述。 在第二章,我们研究了线性流形S={X∈D~(-2)SR~(n×n)|XZ=Y,Y=Y(D~2Z)+D~2Z,Z~TD~2Y=Y~TD~2Z,Y,Z∈R~(n×k)}上矩阵方程A~TXA=B的D对称解。运用矩阵对的广义奇异值分解,给出了这类线性流形上矩阵方程A~TXA=B存在D对称解的充要条件及其通解的表达式。另外给出了它的D对称最小二乘解的表达式。 在第三章,我们研究了线性流形S={X∈GKSR~(n×n)|‖XY-Z‖=min,Y,Z∈R~(n×m)}上矩阵方程A~TXA=B的广义次对称解。利用矩阵对的标准相关分解,给出了这类线性流形上矩阵方程A~TXA=B存在广义次对称解的充要条件及其通解表达式,并且导出了极小Frobenius范数广义次对称解的表达式。另外,利用矩阵对的商奇异值分解,给出了它的广义次对称最小二乘解的表达式。 在第四章,我们研究了线性流形S={X∈CSR~(n×n)|‖XY-Z‖=min,Y,Z∈R~(n×m)}上矩阵方程A~TXA=B的中心对称解。利用矩阵对的商奇异值分解,给出了这类线性流形上矩阵方程A~TXA=B存在中心对称解的充要条件及其通解表达式。另外,导出了在线性流形上矩阵方程的解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式。 在第五章,我们研究了两类线性流形S_1={X∈BSR~(n×n)|‖XY-Z‖=min}和S_2={X∈BSR~(n×n)|XY=Z,Y_i~TZ_i=Z_i~TY_i,Z_iY_i+Y_i=Z_i,i=1,2,Y,Z∈R~(n×m)}上矩阵方程A~TXA=B的双对称最小二乘解。运用矩阵对的标准相关分解,给出了上述两类线性流形上矩阵方程A~TXA=B的双对称最小二乘解的通解表达式。 在第六章,我们研究了线性流形S={X∈SPR~(n×n)|XZ=Y,Z_i~TY_i=Y_i~TZ_i,Y_iZ_i~+Z_i=Y_i,i=1,2,Y,Z∈R~(n×m))上矩阵方程AXA~T=B的对称正


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