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常微分方程的一类强间断有限元法

李灿华  
【摘要】:常微分方程(组)的初值问题广泛出现在科学技术和经济等领域中,它的数值求解已有很多好算法,比如差分法和有限元法。近年特别关注的间断有限元法不仅精度高,且对解的光滑性要求较低。 本文讨论一类间断有限元法。1981年M.Delfour等数值计算发现,对偶次k=0,2,4,…次间断元的节点通量U_j~*=(U_j~-+U_j~+)/2有最高阶超收敛精度O(h~(2k+2)),但是没有证明。本文特别研究此问题.在单元上构造了新的局部化的离散Green函数,证明了间断有限元解的丰满阶最大模估计.利用单元上的Legendre正交展开构造了一个比较函数,再利用对偶论证和某些新技巧,首次证明了最佳阶超收敛估计 |u(x_j)-U_j~*|≤Ch~(2k+2)‖u‖_(k+2),k=0,2,4,…这是目前所知的所有间断有限元法中最高阶的超收敛结果.本文用数值实验证实了这个最高阶.本文还证明此种间断有限元对非线性Hamilton系统,总是保持动量守恒的.这是数值计算中保持动量守恒的第一个结果.


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