拟圆、John圆与Apollon度量

【摘要】： 拟共形映射是共形映射的推广。由于它与Klein群、复解析动力系统以及黎曼曲面等领域的密切关系，从而成为复分析中的一个热门的研究领域。 本文主要研究拟共形映射与拟圆、John圆和Apollon度量的相关问题。 我们利用内距离λ_D及构造的关于区域D的边界(?)D的反射R_D得到了John圆与拟圆的必要条件；并证明D(?)(?)~2是John圆当且仅当D具有John可分解性质；D(?)(?)~2是拟圆当且仅当对于任意的z_1，z_2∈(?)D，存在常数c≥1，使得1/cλ_D(z_1，z_2)≤λ_D*(z_1，z_2)≤cλ_D(z_1，z_2)。 我们证明了(?)~n中真子域D上的Apollon度量α_D是拟共形映射的拟不变量；(?)~n中严格一致域是拟共形不变的；(?)~2中的Jordan域D是拟圆当且仅当D是严格一致域。作为应用，我们进一步得到了Apollon边界条件、拟共形映射和局部Lipschitz映射之间的关系。 我们研究了在区域G(?)R~n上的两个广义双曲度量j_G~p和δ_G~p，得到了度量j_G~p和δ_G~p的Gromov双曲性；对G(?)R~n(n≥3)，我们证明了关于度量j_G~p和δ_G~p的等距变换是M(?)bius变换。对于后者，G应满足Card (?)G≥2。