关于一致域及四元数M(?)bius群性质的研究

【摘要】： 拟共形映射是共形映射的推广。由于它与Klein群、复解析动力系统以及黎曼曲面等领域的密切关系，从而成为复分析中的一个热门的研究领域。本文主要研究一致域的可去性、边界的组成，四元数Mobius群以及(广义)正定矩阵迹的性质。全文安排如下： 在第一章中，我们介绍了研究问题的背景和意义。 拟圆是单位圆盘或半平面在全平面上拟共形映射下的像。作为拟圆的推广，Martio等定义了一致域。一个自然的问题是：一致域的哪些子域还是一致域?此问题的回答将有利于有关一致域实例的构造和一致域相关性质的研究。在第二章中，我们主要研究一致域的可去性，找到了一致域的一类子域，它们依然还是一致域。从而给出了上述问题的部分回答。 Gehring和Hag利用拟共形反射等理论证明了如下结果：一个有限连通的平面区域是一致域当且仅当它的补集分支是由拟网或者点组成。我们在第三章中给出了此结果的一个初等证明。我们的证明完全不依赖于拟共形反射。 Cnops等研究了四元数Mobius变换的一些性质及四元数Mobius初等和非初等群的一些性质。在第四章中，我们在四元数Mobius群中引进了狭义初等群这一新的概念，并对其进行了研究，得到了有关系列结果。 Yang Y等研究了半正定矩阵和广义半正定矩阵迹有关的一些不等式性质，回答了由Bellman提出的一个猜测：我们在第五章中继续讨论这些性质，得到了它们的最伟推广。同时，我们还把得到的结果推广到了复矩阵情形。