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一致域、John域和双曲等距映射的特征及拟测地线的拟凸性

黄曼子  
【摘要】: 为了研究复平面C上的bi-Lipschitz映射的近似理论和单叶性问题,1961年,John引进了一类域.此类域于1978年被Martio和Sarvas命名为John域.为了推广Ahlfors关于拟圆中共形映射单叶性性质的研究,1978年,Martio和Sarvas提出了一类新的域:一致域.众所周知,关于拟圆性质的研究已有许多,并已得到广泛应用.由于John域和一致域均为拟圆的推广,从而这两类域能保持拟圆的哪些性质、又具有哪些独特性质等受到了人们极大的关注.双曲空间H~n中关于Poincaré度量的等距映射是Klein群和双曲流形中的基本组成元素,故它们具有哪些特性是一个基本而又重要的问题. 本学位论文主要内容包括两个方面.第一个方面,利用拟双曲度量、jD度量、Apollon度量及其对应的内度量等来刻划一致域和John域,得到了一系列结果,从而解决了由Broch、H(?)st(?)、Ponnusamy、Sahoo、V(?)is(?)l(?)在《Results in Mathematics》等上提出的三个公开问题.另一方面,讨论了H~n中关于Poincaré度量的等距映射的特征问题,并完全解决了最近由李保奎和姚国武在《Mathematical Proceedingsof Cambridge Philosophy Society》上提出的猜测. 全文共由九章构成,具体安排如下. 第一章,主要介绍了研究问题的背景和得到的主要结果. 第二章,讨论了Euclid空间R~n(n≥3)中拟共形映射中的Riemann映射定理,证明了R~n中的有界凸域一定是拟球,从而推广了已有的相关结果,也说明拟共形映射中的Riemann映射定理对R~n(n≥3)中的有界凸域是成立的. 第三章,利用双曲度量和λ-Apollon度量得到了C中的Jordan域是John圆的一个充分条件,同时构造了两个例子说明此结果的逆不成立.从而完全解决了Broch于2004年提出的一个猜测. 第四章,利用测地线的最大最小性质、拟双曲度量及Apollon度量等,得到了John域的三条特征.这些特征是Gehring、Hag、Herron及Broch等所得相应结果的推广. 第五章,主要研究Apollon内度量和一致域之间的关系.利用Apollon内度量,得到了一致域的一个充要条件.此结果说明,我们完全解决了H(?)st(?)、Ponnusamy、Sahoo于2006年提出的公开问题.同时,本文讨论了拟迷向域、Apollon拟凸域和A-一致域彼此之间的关系. 第六章,作为第五章中讨论的继续,利用类似于第五章中的方法,讨论了Apollon内度量和John域之间的关系,得到了有界Jordan域是John域的一个充分条件,从而完善了第五章中的相应讨论. 第七章,研究了R~n中John域的可分解性和可去性.在此章中,我们定义了John域可分解性的概念,证明了R~n中的域是John域当且仅当此域是John域可分解的;同时还得到了R~n中的任意一个John域去掉其中有限个点后还是John域,并给出了所得结果的应用.我们还构造例子说明结论中的条件“有限个点”的最佳性. 第八章,主要研究了R~n中一致域的可分解性及实赋范向量空间中拟测地线的拟凸性.首先,我们在R~n中定义了一致域可分解性这一概念,它是拟共形可分解性的推广.利用构造的方法,证明了R~n中的域是一致域当且仅当此域是一致域可分解的.作为应用,我们构造实例说明R~n中存在不是拟球的一致域.其次,我们证明了实赋范向量空间中的拟测地线是拟凸的.此结果肯定回答了V(?)is(?)l(?)于2005年提出的一个公开问题. 第九章,讨论了H~n中关于Poincaré度量的等距映射的特征问题.我们的结果是:H~n中把Υ维双曲面(1≤Υ<n)映入(into)Υ维双曲面的映射是等距映射的充要条件是它是满射.此结果肯定回答了李保奎和姚国武最近提出的一个猜测.


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