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非线性哈密顿系统的有限元法研究及比较

胡姝芳  
【摘要】: 哈密尔顿系统是一种重要的力学系统,广泛的出现在物理、力学、工程、纯数学与应用数学领域。通常可以认为,一切耗散可忽略不计的真实物理过程,都可以表示成哈氏方程的形式。从而,对其数值方法的研究无疑具有重要意义。哈密顿系统有两个重要特性:守恒性与辛结构,用数值方法求解时应尽量保持这些性质。 但是任何离散算法,一般而言不能既保能量又保辛(Ge-Masden定理)。回顾近二十年来的哈密尔顿系统的算法研究,重点多集中在对其辛性质的研究,如:辛差分法(冯康)、辛RK法等。这些算法能很好的保持辛性质。然而在很多领域保能量更重要,因此我们转向研究有限元法。 本文重点研究非线性哈密顿系统经典问题—开普勒问题的数值解法。该问题有有两个重要的守恒量:能量(哈密顿量)、角动量。因此,我们认为评价该问题算法优劣有三个标准:保能量,保角动量,长时间计算偏离小。本文从传统非辛算法和传统辛算法中挑选有代表性的方法,如:辛差分法、辛RK法、辛PRK法,与有限元方法进行比较。研究发现任意次有限元法始终是保能量的;首次发现有限元法对角动量计算不仅精度高,而且误差与长时间无关,即:m次元角动量误差达到O(h~(2m))精度;此外,长时间计算具有较好的稳定性及高精度,有限元法轨道误差约为辛RK法的1/3。


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