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常微分方程边值问题与不动点定理

罗艳  
【摘要】: 本文共分六章,主要包含两个方面的内容:一是四类非线性常微分方程的边值问题;二是一类混合单调算子的不动点定理和应用. 第一章简述了非线性常微分方程边值问题的历史背景和发展,及本文的主要工作. 第二章考虑了一类带有非线性边界条件的二阶微分方程解的存在性,通过给出新的上下解定义,结合单调迭代技巧,得到了三点边值问题极值解的存在性,我们的结果改进了相关文献的结果,且给出例子进行说明. 第三章研究了一类带积分边界条件的四阶φ-Laplace算子对称正解的存在性,由范数形式的锥拉伸和压缩不动点定理我们得到了此问题对称正解存在性、多解性以及不存在性的充分条件.本章的独特之处有两方面:第一,函数f依赖未知函数的一阶导数;第二,方程包含了两种重要情形:φ(u)=u和p-Laplace算子φ(u)=|u|p-2u,p1.我们在一定程度上改进和推广了相关文献的结果,且给出了例子进行说明. 第四章讨论了一类高阶微分方程边值问题对称正解的存在性,应用单调迭代技巧,我们不仅获得了边值问题至少存在一个对称正解的充分必要条件,还讨论了边值问题对称正解的唯一性,单调迭代序列和误差估计式.而且,我们给出了例子说明本章结论的合理性. 第五章考虑了一类二阶边值问题伪对称正解的存在性,应用单调迭代技巧,我们不仅获得了边值问题至少存在一个伪对称正解的充分必要条件,还讨论了边值问题伪对称正解的唯一性,单调迭代序列和误差估计式.我们给出了例子说明本章结论的合理性. 第六章研究了一类定义在半序Banach空间中的混合单调算子,在没有假设算子连续和紧致的情况下,得到算子不动点的存在性和唯一性,其结果改进和推广了相关文献的结果.作为应用,我们证明了一类边值问题和一类积分方程正解的存在性和唯一性.


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